Teoría del campo libre a la teoría del campo interactivo

En el caso de un campo escalar real, partimos de la acción

$$S=\int d^4x\ \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi+m^2\phi^2$$

La ecuación de movimiento es la ecuación de Klein-Gordon

$$(-\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial^\nu+m^2)\phi=\ddot{\phi}-\nabla^2 \phi+m^2\phi=0$$

Ahora, introducimos los modos de Fourier.$\phi_k$:

$$\phi=\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi_k$$ En términos de los modos de Fourier, la ecuación de movimiento se convierte en $$\ddot{\phi}_k +\omega^2\phi_k=0,\hspace{2cm}\omega\equiv \sqrt{k^2+m^2}$$ Como puede ver, esta es solo una ecuación de oscilador armónico independiente para cada valor de $k$. Esto es lo que significa decir que los diferentes modos de Fourier son independientes.

Cuando introducimos un término de interacción proporcional a$\phi^n$dónde$n\geq 3$(por ejemplo, el canónico$\lambda \phi^4$), tendremos términos proporcionales a$\phi^{n-1}$($4\lambda\phi^3$en mi ejemplo) en la ecuación de movimiento. Al ir al espacio de Fourier, estas potencias de$\phi$todos tienen 'su propia etiqueta', por lo que obtenemos un término algo así como$\phi_{k_1}\phi_{k_2}\dots\phi_{k_{n-1}}$. Como puede ver, ¡la ecuación de movimiento ya no depende solo de un único modo de Fourier! Los modos de Fourier ahora están acoplados.