Evolución de Schrödinger para una ecuación de Klein-Gordon

Lo primero que debe tener en cuenta es el hecho de que mientras$\phi$tiene una ecuación de movimiento con segundas derivadas temporales, no es la función de onda y, por lo tanto, no hay problema con QM. El campo es solo un operador (más o menos), no un estado. Al actuar con los campos en el estado de vacío, genera los otros estados que evolucionan con un hamiltoniano construido a partir de los operadores como$\phi$sí mismo. Y los operadores evolucionan de acuerdo con la ecuación de movimiento habitual de Heisenberg$[H,\phi(t,x)]=-i\partial_t \phi(t,x)$(y por simetría de Lorentz,$[P_j,\phi(t,x)]=-i\partial_j \phi(t,x)$con$P_\mu=(H,P_i)$como un vector de 4 Lorentz). Desde esta imagen de Heisenberg, puede pasar a la imagen de Schroedinger, que es como en la mecánica QM no relativista, el hamiltoniano da lugar a la evolución temporal de los estados,$H\rightarrow -i\partial_t$. El hecho de que la teoría sea invariante de Lorentz solo agrega otras cosas (importantes), pero no cambia lo que dice QM. QFT implementa los principios de QM para un sistema con infinitos grados de libertad que pueden cambiar el número de partículas.

Todo debería quedar muy claro si se da cuenta de que el lagrangiano para un bosón escalar libre da el hamiltoniano para una colección de osciladores armónicos, un oscilador armónico para cada momento.$k$con frecuencia (también conocida como energía)$\omega^2=k^2+m^2$. En caso de que encuentre más tiempo, agregaré más detalles a esta respuesta.