Propiedad de hermiticidad de los operadores de "posición" con producto interno de Klein-Gordon

Question

Propiedad de hermiticidad de los operadores de "posición" con producto interno de Klein-Gordon

LR

Dado un espacio funcional apropiado $H$ , suponer $H_0$ ser el subespacio lineal generado por las soluciones de la ecuación de Klein-Gordon y equipar ese subespacio lineal con el producto interno

⟨ Φ_{1} | Φ_{2} ⟩ = i \int d \vec{X} (Φ_{1}^{*} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} Φ_{2}) = i \int d \vec{X} (Φ_{1}^{*} \partial_{0} Φ_{2} - Φ_{2} \partial_{0} Φ_{1}^{*})

$\langle \Phi_1 | \Phi_2 \rangle = i\int \mathrm{d}\vec{x}(\Phi_1 ^* \overleftrightarrow{\partial_0}\Phi_2) = i\int \mathrm{d}\vec{x} (\Phi_1 ^* \partial_0\Phi_2 - \Phi_2 \partial_0\Phi_1^*)$

Pregunta: ¿Son entonces los operadores multiplicativos $x^\mu$ hermitiano al actuar sobre $(H_0 ,\langle ,\rangle)$ ? Creo que $x^0$ puede dar algun problema.

Y si $x^\mu$ no son hermitanos, como se puede definir

L_{m v} = X_{m} i \partial_{v} - X_{v} i \partial_{m}

$L_{\mu \nu}=x_\mu i\partial_\nu - x_\nu i \partial_\mu$

como generadores hermíticos de una representación grupal de Lorentz sobre $H_0$ ?

Finalmente: con una adecuada elección de $H$ , es $(H_0 ,\langle ,\rangle)$ un espacio de Hilbert?

DanielC

El único

x^{μ}

$x^\mu$ lo que tiene sentido es el operador de Newton-Wigner: Newton, TD; Wigner, EP (1949). "Estados localizados para sistemas elementales". Reseñas de Física Moderna. 21: 400

LR

@DanielC Gracias por el comentario, pero en realidad no estoy interesado en definir un operador de posición, que es un problema bastante complicado en QFT. Me preguntaba si el operador multiplicativo

x^{μ}

$x^\mu$ (que supongo que estará bien definido aunque no lo esté) son hermíticos dado ese espacio lineal y ese producto interior. Los llamo "operador de posición" solo porque se parecen al operador de posición de la mecánica cuántica no relativista.

Respuestas (1)

Propiedad de hermiticidad de los operadores de "posición" con producto interno de Klein-Gordon

El único $x^\mu$ lo que tiene sentido es el operador de Newton-Wigner: Newton, TD; Wigner, EP (1949). "Estados localizados para sistemas elementales". Reseñas de Física Moderna. 21: 400
@DanielC Gracias por el comentario, pero en realidad no estoy interesado en definir un operador de posición, que es un problema bastante complicado en QFT. Me preguntaba si el operador multiplicativo $x^\mu$ (que supongo que estará bien definido aunque no lo esté) son hermíticos dado ese espacio lineal y ese producto interior. Los llamo "operador de posición" solo porque se parecen al operador de posición de la mecánica cuántica no relativista.

Valter Moretti · Answer 1

En primer lugar $H_0$ puede tomarse inicialmente como el conjunto de las soluciones KG de la forma

\begin{matrix} (1) & Φ (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int_{R^{3}} ϕ_{Φ} (\vec{k}) {mi}^{i (\vec{k} \cdot \vec{X} - X^{0} k^{0})} \frac{d \vec{k}}{\sqrt{2 k^{0}}} \end{matrix}

$\Phi(x) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb R^3} \phi_{\Phi}(\vec{k}) e^{i\left(\vec{k}\cdot \vec{x}-x^0k^0\right)} \frac{d \vec{k}}{\sqrt{2k^0}}\tag{1}$ con

ϕ

$\phi$ en el espacio de funciones de Schwartz y donde

k^{0} := \sqrt{{\vec{k}}^{2} + {metro}^{2}} .

$k^0 :=\sqrt{\vec{k}^2 + m^2}\:.$ Con esta elección vemos fácilmente que

⟨ Φ_{1} | Φ_{2} ⟩ = \int_{R^{3}} \bar{ϕ_{Φ_{1}} (\vec{k})} ϕ_{Φ_{2}} (\vec{k}) d \vec{k}

$\langle \Phi_1|\Phi_2\rangle = \int_{\mathbb R^3} \overline{\phi_{\Phi_1}(\vec{k})} \phi_{\Phi_2}(\vec{k}) d\vec{k}$ Por lo tanto, la especificación real de Hilbert es la finalización de

H_{0}

$H_0$ con respecto a dicho producto escalar y es evidente que es isomorfo a

L^{2} (R^{3}, d \vec{k})

$L^2(\mathbb R^3, d\vec{k})$ .

Con esta definición se ve que $x^\mu$ no es hermítica (no está bien definida ya que su imagen está fuera del espacio de Hilbert: evidentemente $x^\mu\phi(x)$ no es una solución KG si $\phi$ es en general). Sin embargo $L_{\mu\nu}$ es hermtiano (y está bien definido en dicho dominio inicial). Más precisamente, es esencialmente autoadjunto. Para probar la Hermiticidad solo hay que pasar los operadores bajo el signo de integración integrando por partes. El término $k^0$ , que es una función de $\vec{k}$ , da una contribución pero todas las contribuciones se anulan entre sí en vista de la estructura de $L_{\mu\nu}$ .

ANEXO . Se obtiene una representación equivalente unitaria redefiniendo el espacio de Hilbert usando la medida invariante de Lorentz $\frac{d \vec{k}}{2k^0}$ en lugar de $d \vec{k}$ , por lo que el espacio de Hilbert es $L^2(\mathbb R^3, d\vec{k}/2k^0)$ .

Con esta opción (1) se reemplaza por

\begin{matrix} (2) & Φ (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int_{R^{3}} ψ_{Φ} (\vec{k}) {mi}^{i (\vec{k} \cdot \vec{X} - X^{0} k^{0})} \frac{d \vec{k}}{2 k^{0}} . \end{matrix}

$\Phi(x) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb R^3} \psi_{\Phi}(\vec{k}) e^{i\left(\vec{k}\cdot \vec{x}-x^0k^0\right)} \frac{d \vec{k}}{2k^0}\tag{2}\:.$ El mapa unitario que entrelaza los dos espacios de Hilbert es obviamente

L^{2} (R^{3}, \frac{d \vec{k}}{2 k^{0}}) ∋ ψ_{Φ} \mapsto (2 k^{0})^{- 1 / 2} ψ_{Φ} =: ϕ_{Φ} \in L^{2} (R^{2}, d \vec{k}) .

$L^2\left(\mathbb R^3, \frac{d\vec{k}}{2k^0}\right) \ni \psi_{\Phi} \mapsto (2k^0)^{-1/2}\psi_\Phi =: \phi_\Phi \in L^2(\mathbb R^2, d\vec{k}) \:.$

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