Conteo de potencia y no renormalizabilidad (superficial)

La clave es que debe trabajar con campos normalizados canónicamente para usar los argumentos de conteo de potencia.

Ampliemos GR alrededor del espacio plano

$$\begin{equation} g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + \tilde{h}_{\mu\nu} \end{equation}$$ El motivo de la tilde quedará claro en un segundo. Siempre y cuando $\tilde{h}$es "pequeño" (o más precisamente mientras la curvatura $R\sim (\partial^2 \tilde{h})$es "pequeño"), podemos ver GR como una teoría de campo efectiva de una partícula de espín dos sin masa que vive en el espacio plano de Minkowski.

Entonces la acción de Einstein Hilbert toma la forma esquemática

$$\begin{equation} S_{EH}=\frac{M_{pl}^2}{2}\int d^4x \sqrt{-g} R = \frac{M_{pl}^2}{2} \int d^4x \ (\partial \tilde{h})^2 + (\partial \tilde{h})^2\tilde{h}+\cdots \end{equation}$$ dónde $M_{pl}\sim 1/\sqrt{G}$en unidades con $\hbar=c=1$. $M_{pl}$tiene unidades de masa. De esta forma, podría pensar que la interacción $(\partial \tilde{h})^2 \tilde{h}$viene con una escala $M^2_{pl}$con una potencia positiva. Sin embargo, esto es demasiado rápido: todos los argumentos QFT que ha visto han asumido que el término cinético tenía un coeficiente de -1/2, no $M_{pl}^2$. Relacionado, dado que $M_{pl}$tiene unidades de masa y la acción tiene unidades de $(mass)^4$, el campo $\tilde{h}$es adimensional, por lo que claramente no está normalizado de la misma manera que el campo estándar utilizado en los libros de texto QFT.

Ahora, clásicamente, la acción solo se define hasta una constante general, por lo que somos libres de pensar en$M_{pl}^2$como una constante arbitraria. Sin embargo, en QFT, la acción aparece en la integral de trayectoria.$Z=\int D\tilde{h}e^{iS[\tilde{h}]/\hbar}$(Nótese la distinción notacional entre$\tilde{h}$y$\hbar$). Por lo tanto, la constante general de la acción no es un parámetro libre en QFT, es fijo y tiene un significado físico. Alternativamente, debe recordar que la acción de Einstein Hilbert finalmente se acoplará a la materia; cuando hacemos eso, la escala$M_{pl}$sentado frente a$S_{EH}$no multiplicará la acción de la materia, y así$M_{pl}$establece la escala relativa entre la acción gravitacional y la acción de la materia.

El remate es que no podemos simplemente ignorar la escala general$M_{pl}^2$, tiene un significado físico (es decir, no podemos absorber$M_{pl}$en un coeficiente global que multiplica la acción). Por otro lado, queremos poner la acción en una forma "estándar" donde la escala general no está ahí, para que podamos aplicar la intuición normal sobre el conteo de potencia. La solución es trabajar con un "campo normalizado canónicamente"$h$, relacionado con$\tilde{h}$por

$$\begin{equation} \tilde{h}_{\mu\nu} = \frac{h_{\mu\nu}}{M_{pl}} \end{equation}$$

Entonces la acción de Einstein Hilbert toma la forma

$$\begin{equation} S_{EH} = \int d^4 x \ (\partial h)^2 + \frac{1}{M_{pl}} (\partial h)^2 h + \cdots \end{equation}$$

De esta forma es claro que las interacciones de la forma$(\partial h)^2 h$tener una "constante de acoplamiento"$1/M_{pl}$con dimensiones 1/masa, que no es renormalizable por contaje de potencias de la forma habitual.