Límite no relativista del campo escalar complejo

Question

Límite no relativista del campo escalar complejo

guillefix

En la página 42 de las conferencias de David Tong sobre la teoría cuántica de campos , dice que también se puede derivar el Schrödinger Lagrangian tomando el límite no relativista del (¿complejo?) campo escalar Lagrangian. Y para eso usa la condición $\partial_{t} \Psi \ll m \Psi$ , que de hecho supongo que quiere decir $|\partial_{t} \tilde{\Psi}| \ll |m \tilde{\Psi}|$ , de lo contrario no lo entiendo. En cualquier caso, partiendo del Lagrangiano:

L = \partial^{m} \tilde{ψ} \partial_{m} {\tilde{ψ}}^{*} - {metro}^{2} \tilde{ψ} {\tilde{ψ}}^{*}

$\mathcal{L}=\partial^{\mu}\tilde{\psi} \partial_{\mu} \tilde{\psi}^{*} -m^{2}\tilde{\psi}\tilde{\psi}^{*}$

Usando la inecuación creo que es correcta, solo puedo llegar a:

L = - \nabla \tilde{ψ} \nabla {\tilde{ψ}}^{*} - {metro}^{2} \tilde{ψ} {\tilde{ψ}}^{*}

$\mathcal{L}=-\nabla\tilde{\psi} \nabla \tilde{\psi}^{*} -m^{2}\tilde{\psi}\tilde{\psi}^{*}$

Y a partir de eso he tratado de relacionar $\tilde{\psi}$ o $\psi$ (como podemos escribir el Lagrangiano anterior con ambos, ya que es invariante al multiplicar por una fase pura), para $\dot{\psi}$

qmecanico

Para una conexión entre Schr. ec. y Klein-Gordon eq, véase, por ejemplo, A. Zee, QFT in a Nutshell, cap. III.5, y esta publicación de Phys.SE más los enlaces incluidos.

usuario8817

Tenga en cuenta que la ecuación de Klein-Gordon es covariante de Poincaré y la ecuación de Schrödinger no lo es. Esto quiere decir, que el segundo no puede ser la consecuencia directa del primero.

Respuestas (1)

Límite no relativista del campo escalar complejo

Para una conexión entre Schr. ec. y Klein-Gordon eq, véase, por ejemplo, A. Zee, QFT in a Nutshell, cap. III.5, y esta publicación de Phys.SE más los enlaces incluidos.
Tenga en cuenta que la ecuación de Klein-Gordon es covariante de Poincaré y la ecuación de Schrödinger no lo es. Esto quiere decir, que el segundo no puede ser la consecuencia directa del primero.

Trimok · Answer 1

No se puede derivar "directamente" de una ecuación de Klein-Gordon, o de un Lagrangiano de Klein-Gordon.

A partir de una ecuación de Klein-Gordon para $\psi$ , y definiendo $\psi(\vec x,t) = e^{-imt} \tilde \psi(\vec x,t)$ ( $2.103$ ), se obtiene una nueva ecuación para $\tilde \psi$ , que no es una ecuación de Klein-Gordon :

\begin{matrix} (2.104) & \ddot{\tilde{ψ}} - 2 i metro \dot{\tilde{ψ}} - \nabla^{2} \tilde{ψ} = 0 \end{matrix}

$\ddot {\tilde \psi} - 2 im \dot {\tilde \psi} - \nabla^2\tilde \psi = 0 \tag{2.104}$

Por transformada de Fourier, esto es equivalente a la condición:

\begin{matrix} (1) & ({mi}^{' 2} + 2 metro {mi}^{'} - {\vec{pag}}^{2}) = 0 \end{matrix}

$(E'^2 + 2mE'-\vec p^2) = 0 \tag{1}$

¿Qué significa eso?

Comenzamos con una ecuación de Klein-Gordon para $\psi$ , que, por la transformada de Fourier, es equivalente a la condición

\begin{matrix} (2) & ({mi}^{2} - {\vec{pag}}^{2} - {metro}^{2}) = 0 \end{matrix}

$(E^2 -\vec p^2 - m^2) = 0 \tag{2}$

Ahora, la transformación $\psi(\vec x,t) = e^{-imt} \tilde \psi(\vec x,t)$ $(2.103)$ , proporciona el vínculo entre $E'$ y $E$ , esto es $E' = E - m$ , esto es un cambio en la definición de la energía.

Entonces, desde $(2)$ , tenemos simplemente : $((E'+m)^2-\vec p^2 - m^2)=0$ , que es solo la condición $(1)$

Ahora bien, si suponemos $|\vec p| \ll m$ , esto significa $|E-m| \ll m$ (con $E \sim m)$ , eso es $E'\ll m$ , entonces $E'^2 \ll mE'$ .

Volviendo a la ecuación $(2.104)$ , que no es una ecuación de Klein-Gordon, vemos, por la transformada de Fourier, que podemos despreciar el primer término en relación con el segundo término y, finalmente, se obtiene:

\begin{matrix} (2.105) & i \dot{\tilde{ψ}} = - \frac{1}{2 metro} \nabla^{2} \tilde{ψ} = 0 \end{matrix}

$i \dot {\tilde \psi}= - \frac{1}{2m}\nabla^2\tilde \psi = 0 \tag{2.105}$

Sobre los lagrangianos, creo que tendrás un problema, si quieres definir un lagrangiano dando $(2.104)$ , con solo un campo escalar real $\tilde \psi$ , debido a la $\dot {\tilde \psi}$ término.

Entonces, debes considerar un campo escalar complejo, y en el Lagrangiano, tendrás términos como $\dot{ \bar {\tilde \psi}} \dot{ {\tilde \psi}}$ y $im \bar {\tilde \psi}\dot{ {\tilde \psi}}, im \dot{\bar {\tilde \psi}}{ {\tilde \psi}}$ , y el primer término, en la aproximación que discutimos, es despreciable en relación con los otros términos.

Pero, ¿cómo obtienes esos dos últimos términos? $m\bar{\tilde{\psi}}\dot{\tilde{\psi}}$ , $m\tilde{\psi}\dot{\bar{\tilde{\psi}}}$ ? Y también, eso no es exactamente lo que quieres, ¿verdad? Quieres un $i\bar{\tilde{\psi}}\dot{\tilde{\psi}}$
Sí, estos son términos $im \bar {\tilde \psi}\dot{ {\tilde \psi}}, im \dot{\bar {\tilde \psi}}{ {\tilde \psi}}$ (Me salté el $i$ )
Es solo una modificación del Lagrangiano. $1.15$ , donde multiplicamos por $m$ los primeros 2 términos, omitimos el último término y sumamos el término derivado cuadrático en el tiempo.
Creo que lo he hecho ahora. Mi problema era decir que "como podemos escribir el Lagrangiano anterior con ambos, ya que es invariante al multiplicar por una fase pura", eso es cierto, pero la fase pura no puede depender de x, y el $e^{-mt}$ hace. Entonces, cuando sustituí correctamente eso en el lagrangiano de campo escalar complejo KG, obtuve los términos que dices, y después de aplicar el non-rel. condición Obtengo el Lagrangiano 1.15 con las modificaciones que dices (y con un $\frac{1}{2}$ frente a los gradientes); y eso da el tipo correcto de ecuación de Schrödinger. ¡Gracias!

Límite no relativista del campo escalar complejo

guillefix

qmecanico

usuario8817

Respuestas (1)

Trimok

guillefix

Trimok

Trimok

guillefix

Trimok

Interpretación física de la carga conservada de la ecuación de Klein-Gordon

¿Por qué la ecuación de Klein Gordon es de segundo orden en el tiempo?

¿Cómo obtener la ecuación de Dirac a partir de la ecuación de Schrödinger y la relatividad especial?

Límites utilizados para encontrar el límite no relativo de la ecuación de Klein-Gordon

¿Ecuación de Schrödinger de la ecuación de Klein-Gordon?

¿Cómo derivar la teoría de la mecánica cuántica de la teoría cuántica de campos?

¿La imagen de Heisenberg solo funciona para la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, no para la ecuación de Klein-Gordon?

¿Cómo encontrar las funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon no homogénea dependiente del tiempo?

Evolución de Schrödinger para una ecuación de Klein-Gordon

Pregunta sobre la "función de onda" en Mecánica Cuántica Relativista (RQM) y Teoría Cuántica de Campos (QFT)