Evolución temporal del campo escalar

Considere el campo escalar real cuantificado que actúa sobre el estado de vacío$\vert 0 \rangle$. Podemos interpretar el estado$\phi(\textbf{x})\vert 0 \rangle$(definido en la imagen de Schrödinger en$t=0$) como una partícula creada en$(t=0,\textbf{x})$.

Peskin y Schroeder dicen que el estado$\phi(x)\vert 0 \rangle$es una partícula preparada en el punto del espacio-tiempo$x$. Veo cómo funciona esto en la imagen de Heisenberg. Pero quiero trabajar en la imagen de Schrödinger para convencerme de lo que está pasando. Así que el tiempo evoluciono el estado$\phi(\textbf{x})\vert 0 \rangle$actuando con el operador de evolución temporal$U=e^{-iHt}$. Sin embargo, esta vez la evolución da una expresión incorrecta, en particular en lugar de tener$e^{iEt}$que es lo que necesito, tengo un$e^{-iEt}$término que no coincide con el resultado de la imagen de Heisenberg (o el resultado que obtienes simplemente resolviendo la ecuación de Klein Gordon).

¿Cuál es el problema?

Editar: una explicación más detallada;

Tenemos$\phi(\textbf{x})\vert 0 \rangle = \displaystyle\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_\textbf{p}}}e^{-i\textbf{p}.\textbf{x}}a^\dagger_\textbf{p} \vert 0 \rangle$. En la imagen de Heisenberg podemos mostrar que en el tiempo$t$tenemos$\phi(x)\vert 0 \rangle = e^{iHt}\phi(\textbf{x})e^{-iHt}\vert 0 \rangle$.

En expansión$e^{-iHt}$como una serie de Taylor y dado que el estado$\vert 0 \rangle$es tal que$H\vert 0 \rangle=0$tenemos$e^{-iHt}\vert 0 \rangle=\vert 0 \rangle$. esto nos da$\phi(x)\vert 0 \rangle = e^{iHt}\phi(\textbf{x})\vert 0 \rangle$. Utilizando las relaciones de conmutación entre los operadores de escalera y$H$obtenemos el resultado correcto.

El problema es que si tomo el estado$\phi(\textbf{x})\vert 0 \rangle$y el tiempo evoluciona con el operador de evolución temporal$U=e^{-iHt}$obtenemos$\phi(x)\vert 0 \rangle = e^{-iHt}\phi(\textbf{x})\vert 0 \rangle$. Comparando nuestras expresiones tenemos$e^{-iHt}=e^{iHt}$Insinuando$t=0$o$H=0$, coincidiendo lo anterior con el hecho de que las imágenes concuerdan en$t=0$.

¿Por qué no obtengo el mismo resultado en la imagen de Schrödinger?