¿Cómo calcular la acción efectiva cuántica de los diagramas 1PI Feynman?

Bueno, la prueba en la Ref. 1 estrictamente hablando no calcula la acción efectiva cuántica $\Gamma[\Phi_{\rm cl}]$directamente, sino el funcional generador$W_c[J]$de diagramas conectados de 2 maneras diferentes:

1. Como árboles construidos a partir de propagadores completos, vértices 1PI y fuentes$J$, a través de un argumento combinatorio.

2. Como árboles construidos a partir de$\Gamma$-propagadores y$\Gamma$-vértices de la$\Gamma$-acción y fuentes$J$, debido a la aproximación WKB.

Sin embargo, debido a la naturaleza biyectiva de la transformación de Legendre , concluimos que la$\Gamma$-los propagadores son propagadores completos y los$\Gamma$-los vértices son vértices 1PI. Para obtener más detalles, consulte esta publicación Phys.SE relacionada.

Referencias:

1. D. Skinner , QFT en 0D ; pag. 32-33.

El cálculo explícito del potencial efectivo completo en términos de diagramas de Feynman se presenta por primera vez en "Evaluación funcional del potencial efectivo", R. Jackiw, Phys. Rev. D 9, 1686 (1974). Los resultados no son triviales, de varias maneras diferentes. Por un lado, la estructura de la contribución de un ciclo a la acción efectiva es fundamentalmente diferente de los términos del ciclo superior. El término de un bucle es un determinante funcional, y ya se sabía cómo calcularlo antes del artículo en cuestión. [Por ejemplo, este tipo de cálculo se lleva a cabo de forma más torpe en “Las correcciones radiativas como origen de la ruptura espontánea de la simetría”. S. Coleman, E. Weinberg, Phys. Rev. D 7, 1888 (1973).]

Sin embargo, los términos de bucle superior implican una suma sobre diagramas de burbujas de vacío irreducibles de una partícula y, además, las reglas de Feynman para esos diagramas no son las reglas de Feynman para la teoría original. por ejemplo, en$\phi^{4}$teoría, las reglas de Feynman para las burbujas de vacío en realidad implican tanto 3-$\phi$y 4-$\phi$vértices, incluso cuando la acción subyacente no tiene$\phi^{3}$término. Y las "constantes de acoplamiento" para las nuevas reglas de Feynman dependen del campo "clásico"$\Phi$, lo que explica cómo el resultado final conserva una dependencia de$\Phi$.

Es, francamente, mucho trabajo seguir los cálculos del artículo de Jackiw. Incluso los elementos que pueden parecer relativamente simples, como la función de transformación de Legendre que elimina los diagramas que no son 1PI, son difíciles de evaluar de forma explícita. Se necesita mucha familiaridad con las correcciones radiativas para analizar y comprender todo el análisis.