El lagrangiano en la teoría de campos escalares

Tengo una perspectiva ligeramente diferente de las otras dos respuestas que proporciona una motivación más elemental. Suponga que no sabe nada sobre renormalizabilidad o relaciones energía-momento y todo lo que sabe es que una densidad lagrangiana es una función de campos y sus derivados que se transforma como un escalar bajo transformaciones de Poincaré.

Puede motivar la ecuación de Klein-Gordon preguntando cuál es el lagrangiano más simple que puede escribir para un campo escalar que se transforma en un escalar y proporciona un hamiltoniano definido positivo.

Ya que estamos tratando con campos escalares, cualquier función polinomial de los campos$\phi$satisfará la propiedad de transformación de Lorentz correcta. Así que podrías escribir un término como$a\phi+b\phi^2$con constantes reales$a$y$b$. Ahora también queremos incluir derivados$\partial_\mu\phi$. Para satisfacer las propiedades correctas de la transformación de Lorentz, necesitamos contraer esto con un término$\partial^\mu\phi$.

Entonces, el Lagrangiano más simple que podemos escribir es$\mathcal{L}=c\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi+a\phi+b\phi^2$de donde obtenemos un hamiltoniano

$\mathcal{H}=\frac{\pi^2}{4c}+c\partial_i\phi\partial_i\phi-a\phi-b\phi^2$

los$a\phi$El término no es agradable ya que arruina la definición positiva del hamiltoniano, así que establezca$a=0$. Un campo escalar y las derivadas tienen dimensión de$[mass]^2$y la densidad lagrangiana tiene dimensión$[mass]^4$, asi que$c$debe ser adimensional y$b$debiera ser$b=-m^2$dónde$m$tiene unidades de masa y el signo menos está ahí para hacer que el hamiltoniano sea positivo-definido.

Así que hemos reducido nuestro hamiltoniano a

$\mathcal{H}=\frac{\pi^2}{4c}+c\partial_i\phi\partial_i\phi+m^2\phi^2$

Ajuste$c=1/2$y reescalado$m^2\rightarrow m^2/2$significa que los coeficientes de todos los términos son iguales.

Por lo tanto, la densidad lagrangiana es$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2$

* Cosas que podría probar y argumentar en contra de que este sea el Lagrangiano de campo escalar más simple;

1. Si el punto es la simplicidad, ¿por qué no simplemente ignorar los términos derivados y escribir un Lagrangiano para un campo escalar como$\mathcal{L}=-m^2\phi^2$? Porque si ignoras los términos derivados, la ecuación de campo es$\phi=0$, y a quien le importa eso? Ignorar las derivadas da como resultado un campo no dinámico. Entonces, el Lagrangiano de Klein-Gordon es lo más simple que puede escribir donde algo realmente sucede.

Por supuesto, obtienes un Lagrangiano válido más simple al establecer$m=0$, pero esto no se hace porque los libros quieren mostrar la relación energía-momento en un entorno general cuando cuantificas el campo. Sin embargo, puede comenzar con el caso sin masa en 5 dimensiones y realizar la reducción dimensional para obtener el caso masivo en 4 dimensiones.

2. ¿Por qué ignorar la posibilidad de términos de interacción campo-derivada? Puede hacer esto, pero el objetivo es la simplicidad, y el término más simple que acopla el campo a sus derivadas, transformando correctamente y produciendo un hamiltoniano definido positivo es$\phi\phi\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi$, que es mucho más complicado que nuestros otros términos.

Una motivación razonable para ese Lagrangiano se puede encontrar haciendo una analogía clásica. La energía cinética en la física clásica es proporcional al cuadrado de la tasa de cambio de la posición con el tiempo por lo que:

$$T=\frac{1}{2}(\partial_0 \phi)^2$$ Pero para obtener un Lagrangiano invariante de Lorentz debemos agregar: $$-\frac{1}{2}\sum_i{(\partial_i \phi)^2}$$ Agregando y usando la métrica de Minkowsi: $$\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu} \phi\partial_{\nu} \phi$$

Ahora, supongamos que el valor de equilibrio del campo es$\phi=0$. Para un oscilador armónico simple con posición de equilibrio$x=0$la energía potencial es como$\sim x^2$. Si queremos que el campo prefiera su estado de equilibrio, entonces este debe estar codificado en el potencial y el más simple que lo hace es el armónico:

$$V=\frac{1}{2}m^2\phi^2$$

Combinando ambos términos, tenemos:

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu} \phi\partial_{\nu} \phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2$$

Fuente: B. Zwiebach, "Un primer curso de teoría de cuerdas", capítulo 10.2

La motivación estándar, como explicó QuantumDot, es reproducir la relación de energía-momento de la relatividad del campo escalar. Pero hay un argumento independiente para esto que proviene de la mecánica estadística.

Considere una función de partición mecánica estadística para un campo definido en una red muy fina. En general, el equilibrio solo permitirá fluctuaciones locales, por lo que el campo tendrá una distribución de probabilidad en cualquier punto de la red que sea localmente independiente de las fluctuaciones en cualquier otro punto de la red distante. En este caso, puede mirar la red en escalas de distancia gruesas y definir un campo promedio$\phi$sobre muchos espacios de celosía, y escriba la función de partición como un producto de funciones de partición independientes en cada punto de la celosía gruesa:

$$Z = \prod \int e^{V(\phi)} d\phi$$

Y dado que el campo reticular grueso es el promedio del campo reticular fino, sabes por el teorema del límite central que la distribución será gaussiana:

$$Z = \int e^{\int {1\over 2}m^2 \phi^2} D\phi$$

La última línea es una integral de trayectoria, una suma similar a una función de partición sobre todas las cofiguraciones, y la identidad que garantiza que reproduce fluctuaciones locales independientes es exactamente lo mismo que te dice que dos sistemas independientes tienen una función de partición que multiplica (o una energía libre que se suma).

Este tipo de cosas es muy aburrida, y es la situación típica en campos estadísticos o cuánticos --- fluctuaciones independientes totalmente locales, lo que a menudo se llama un campo ultralocal. Esto no es algo que observaríamos como algo dinámico, ya que vivimos en escalas mucho más grandes que cualquier escala de granulosidad.

Así que considere lo que sucedería si ajustamos las fluctuaciones para que sean grandes. Esto requiere un ajuste fino del parámetro de fluctuación gaussiana efectiva$m^2$a 0. Esto no es particularmente difícil de imaginar, porque usas el teorema del límite central para obtener el$m^2$comportamiento --- puedes imaginar que el potencial microscópico es realmente de la forma$m^2 \phi^2 + \lambda\phi^4$, y luego, si afinas el$m^2$ser un valor especial, cambiará la estabilidad de la$\phi=0$punto. Este es un punto crítico en la mecánica estadística.

Ahora, si observa distancias largas, espera que la energía libre de las configuraciones de campo en una red de grano grueso sea como:

$$\int F(\nabla\phi, \phi)$$

Donde expandes solo los términos derivados más importantes. Si lo escribes como una serie, asumiendo$\phi\rightarrow -\phi$simetría:

$$\int |\nabla \phi |^2 + t \phi^2 + \lambda \phi^4 + g \phi^6 + h |\nabla^2\phi|^2$$

Entonces puede convencerse de que al cambiar la escala, manteniendo fijo el coeficiente del primer término, solo los primeros 3 términos importan en la dimensión 4 o menos. Esto quiere decir que si normaliza las fluctuaciones del campo para que el coeficiente de correlación de la derivada principal determine la escala del campo, solo el término cuadrático y cuártico son renormalizables, solo estos contribuyen a las correlaciones de larga distancia.

La integral de trayectoria de Feynman justifica por qué este tipo de razonamiento tiene algo que ver con la mecánica cuántica. Cualquier teoría del campo bosónico con una acción invariante de inversión en el tiempo continúa analíticamente en un campo estadístico, y este campo estadístico es un límite de longitud de onda larga de algo de corta distancia. La clasificación de las teorías posibles es entonces por la generalización del teorema del límite central que te dice que el campo ultralocal es el caso más común.

Para fermiones quirales y campos de calibre, ni siquiera necesita un ajuste fino de un parámetro para tener un límite fluctuante. Los campos de norma mantienen un límite fluctuante por la invariancia de norma, y ​​los fermiones quirales por el hecho de que no pueden formar una masa sin aparearse. Estos son los ingredientes del modelo estándar.

La justificación de los lagrangianos en la teoría de campos proviene en última instancia de la renormalizabilidad, pero esto es difícil porque falta una teoría rigurosa. También se pueden justificar solicitando una teoría en la que tenga un número finito de partículas fundamentales de espín y masa dados, que para el espín 0 reproduce la no interacción ($\lambda=0$) versión de este argumento. Este es un argumento algo complementario porque la unitaridad impone restricciones más fuertes en la forma del Lagrangiano cuántico que simplemente ser renormalizable, por lo que es bueno conocer ambas cadenas de razonamiento.

Este es el ejemplo canónico de una teoría relativista de campos utilizada para presentar el tema a los estudiantes. Una de las características a tomar de este modelo es la siguiente: Escriba la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}-\partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}=0$$ donación $$-m^2\phi-\partial_\mu\partial^\mu\phi=0$$ que se puede escribir: $$\big(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+m^2\big)\phi=0$$ Ahora, si te mueves al espacio de Fourier, $\phi\sim\int(dk)\,\phi_k\,e^{i\omega t-i\vec{k}.\vec{x}}+c.c.$, usted encontrará $$\int(dk)(-\omega^2+\vec k^2+m^2)\,\phi_ke^{i\omega t-i\vec{k}.\vec{x}}+c.c.=0,$$ o de manera equivalente, cada modo satisface la siguiente relación entre la frecuencia y el número de onda: $$\omega^2=\vec k^2+m^2.$$ Tras la identificación de la frecuencia con la energía $\omega\rightarrow E$y número de onda con impulso $\vec k\rightarrow \vec p$, encontrará que cada modo satisface la relación de momento de energía cinemática relativista: $$E^2=\vec p^2+m^2.$$ Este es el punto de partida para la construcción de una teoría relativista de campos cuánticos.

En Relatividad especial y teoría clásica de campos de Leonard Susskind , proporciona una manera mucho más intuitiva, pero informal.

Imagine que tomamos un campo escalador, que depende del tiempo. Deje que este campo denote la posición de alguna partícula imaginaria. llamémoslo$\phi(t)$. Ahora bien, este campo describe la posición de alguna partícula imaginaria de masa$1$.

La mecánica clásica nos dice que el Lagrangiano en este caso sería la energía cinética menos algún tipo de potencial.

$$\mathcal{L} = \frac{\dot{\phi}}{2} - V(\phi)$$

desde que hemos tomado$m = 1$. Ahora, si tomamos el campo escalar y lo hacemos dependiente tanto del espacio como del tiempo, la elección natural es:

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{\phi} - \frac{1}{2}\nabla . \phi - V(\phi)$$

donde las derivadas espaciales tienen el signo menos según la convención métrica. Podemos reescribir esto como:

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu{\phi}\partial^\mu{\phi} - V(\phi)$$

solemos escribir

$$V(\phi) = \frac{1}{2} \mu^2 \phi$$

Desafortunadamente, el libro no explica por qué se elige el potencial para ser el$m^2\phi^2$. Especifica que cualquier potencial estaría bien y que la elección es solo una conveniencia. Sigue siendo una buena explicación.