Teoría del campo continuo para el modelo de Ising

Question

Teoría del campo continuo para el modelo de Ising

Física
modelo-ising
teoría de campo
modelo de celosía
función de partición
mecánica estadística

kai

Mi problema es tomar el $d$ hamiltoniano de ising -dimensional,

H = - \sum_{i, j} σ_{i} j_{i, j} σ_{j} - \sum_{i} {\tilde{h}}_{i} σ_{i}

$H = -\sum_{i,j}\sigma_i J_{i,j} \sigma_j - \sum_{i} \tilde{h}_i \sigma_i$ dónde

J_{i j}

$J_{ij}$ es una matriz que describe los acoplamientos entre sitios

i

$i$ y

j

$j$ . Aplicando una transformación de Hubbard-Stratonovich, reescriba la función de partición como

Z = {norte}_{0} \int d^{norte} ψ Exp {- [\frac{1}{4} \sum_{i, j} ψ_{i} k_{i j} ψ_{j} - \sum_{i} en [aporrear (h_{i} + ψ_{i})]]}

$Z = N_0 \int d^N \psi \exp\left\{-\left[\frac{1}{4}\sum_{i,j} \psi_i K_{ij} \psi_j - \sum_{i} \ln[\cosh(h_i+\psi_i)]\right]\right\}$ dónde

N_{0}

$N_0$ es una constante de normalización global,

K_{i j} = (β J_{i j})^{- 1}

$K_{ij} = (\beta J_{ij})^{-1}$ , y

h_{i} = β {\tilde{h}}_{i}

$h_i = \beta\tilde{h}_i$ . Esto es relativamente sencillo. Escribimos el campo como

ψ_{i} = ϕ_{i} - h_{i}

$\psi_i = \phi_i - h_i$ , y podemos demostrar que

⟨ ϕ_{i} ⟩ \propto J_{i j} ⟨ σ_{j} ⟩

$\left<\phi_i\right> \propto J_{ij} \left<\sigma_j\right>$ , es decir, puede interpretarse como un "campo medio" en el sitio

i

$i$ debido a la interacción con todos los demás sitios.

A continuación suponemos que la variación en el campo es pequeña, $\left|\phi_i\right|<<1$ , establecimos $h_i = 0$ y ampliar $\ln \cosh(x) \approx \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{12}x^4$ Llegar

Z \approx {norte}_{0} \int d^{norte} ψ Exp {- [\frac{1}{4} \sum_{i, j} ϕ_{i} k_{i j} ϕ_{j} - \sum_{i} [\frac{ϕ_{i}^{2}}{2} - \frac{ϕ_{i}^{4}}{12}]]}

$Z \approx N_0\int d^N\psi \exp\left\{-\left[\frac{1}{4}\sum_{i,j}\phi_i K_{ij} \phi_j - \sum_i \left[\frac{\phi_i^2}{2} - \frac{\phi_i^4}{12}\right]\right]\right\}$

Ahora tomamos el límite continuo, en unidades donde el espaciado de la red es la unidad, etiquetando cada sitio por su posición $\mathbf{r}$ , lo que da

Z \to norte \int D ϕ Exp {- \frac{1}{2} [\frac{1}{2} \int d r d r^{'} ϕ (r) k (r - r^{'}) ϕ (r^{'}) - \int d r [ϕ (r)^{2} - \frac{ϕ (r)^{4}}{6}]]}

$Z\rightarrow \mathcal{N} \int \mathcal{D}\phi\, \exp\left\{-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\int d\mathbf{r}\,d\mathbf{r}'\,\phi(\mathbf{r}) K(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \phi(\mathbf{r}') - \int d\mathbf{r}\,\left[\phi(\mathbf{r})^2 - \frac{\phi(\mathbf{r})^4}{6}\right]\right]\right\}$

Aquí es donde no estoy seguro de cómo proceder. me dicen que me expanda $\phi(\mathbf{r}')$ como una pequeña variación del valor en $\mathbf{r}$ , es decir

ϕ (r^{'}) \approx ϕ (r) + (X_{m}^{'} - X_{m}) \partial_{m} ϕ (r) + \frac{1}{2} (X_{m}^{'} - X_{m}) (X_{v}^{'} - X_{v}) \partial_{m} \partial_{v} ϕ (r) + \dots

$\phi(\mathbf{r}') \approx \phi(\mathbf{r}) + (x_\mu'-x_\mu)\partial_\mu \phi(\mathbf{r}) + \frac{1}{2}(x_\mu' - x_\mu)(x_{\nu}'-x_\nu)\partial_\mu \partial_\nu \phi(\mathbf{r}) + \cdots$ e introducir la transformada de Fourier

\tilde{K} (q) = \int d r K (r) e^{- i q \cdot r}

$\tilde{K}(\mathbf{q}) = \int d\mathbf{r} K(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}$ y escribe la acción continua como

S = \int d^{d} r [C_{1} {(\partial ϕ)}^{2} + C_{2} ϕ^{2} + C_{4} ϕ^{4}]

$S = \int d^d\mathbf{r} \left[c_1 \left(\partial \phi\right)^2 + c_2 \phi^2 + c_4 \phi^4\right]$ y encuentre los coeficientes en términos de

\tilde{K} (0)

$\tilde{K}(0)$ y

{\tilde{K}}^{″} (0)

$\tilde{K}''(0)$ .

Creo que puedo argumentar que $K$ es sólo una función de $\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|$ , en ese caso $K(\mathbf{r}-\mathbf{r}')(x_\mu'-x_\mu)$ es raro el punto $\mathbf{r}$ , y así integrando sobre $d\mathbf{r}'$ (tratando $\mathbf{r}$ como constante) matará cualquier término excepto aquellos que dependen del cuadrado de la diferencia, dejándome con

\int d r d r^{'} ϕ (r) k (r - r^{'}) ϕ (r^{'}) = \int d r d r^{'} k (r - r^{'}) (ϕ (r)^{2} + \frac{1}{2} (X_{m}^{'} - X_{m})^{2} ϕ (r) \partial_{m}^{2} ϕ (r))

$\int d\mathbf{r}\,d\mathbf{r}'\,\phi(\mathbf{r}) K(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \phi(\mathbf{r}') = \int d\mathbf{r}\,d\mathbf{r}' K(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\left(\phi(\mathbf{r})^2 + \frac{1}{2}(x_\mu'-x_\mu)^2\phi(\mathbf{r})\partial_\mu^2 \phi(\mathbf{r})\right)$

Puedo manejar el primer término, pero es el segundo término con el que no sé cómo lidiar.

vcl

En general

K_{i j}

$K_{ij}$ es la matriz de adyacencia del gráfico vecino más cercano. La diferencia entre sus variables

x^{'} - x = a

$x’-x=a$ es la constante de red. Por lo tanto, ese término da lugar al término "cinético" de la teoría del campo.

kai

No estoy seguro de poder decir simplemente que

(x_{μ}^{'} - x_{μ})

$(x_\mu' - x_\mu)$ es la constante de red (que he puesto a 1), a los efectos de la integración. Supongo que de alguna manera podré convertir

\int d r^{'} K (r - r^{'}) (x_{μ}^{'} - x_{μ})^{2} \sim {\tilde{K}}^{″} (0)

$\int d\mathbf{r}' K(\mathbf{r}-\mathbf{r}') (x_\mu'-x_\mu)^2 \sim\tilde{K}''(\mathbf{0})$ , e integrando por partes puedo mover uno de los

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ sobre el otro

ϕ (r)

$\phi(\mathbf{r})$ conseguir un

(\partial_{μ} ϕ)^{2}

$(\partial_\mu\phi)^2$ término. No estoy seguro de cómo hacerlo.

kai

Lo que incluí arriba es la forma en que se me presentó el problema, creo que sería mejor dejar el espaciado de celosía explícitamente y tomar el límite que

a \to 0

$a\rightarrow 0$ , ya que se supone que esta es una teoría de campo medio de "grano grueso"

miguel parís

Llego tarde a la fiesta, pero si la variación en el campo es pequeña, puede descartar todas las derivadas superiores, lo que elimina el segundo término.

Respuestas (1)

Teoría del campo continuo para el modelo de Ising

En general $K_{ij}$ es la matriz de adyacencia del gráfico vecino más cercano. La diferencia entre sus variables $x’-x=a$ es la constante de red. Por lo tanto, ese término da lugar al término "cinético" de la teoría del campo.
No estoy seguro de poder decir simplemente que $(x_\mu' - x_\mu)$ es la constante de red (que he puesto a 1), a los efectos de la integración. Supongo que de alguna manera podré convertir $\int d\mathbf{r}' K(\mathbf{r}-\mathbf{r}') (x_\mu'-x_\mu)^2 \sim\tilde{K}''(\mathbf{0})$ , e integrando por partes puedo mover uno de los $\partial_\mu$ sobre el otro $\phi(\mathbf{r})$ conseguir un $(\partial_\mu\phi)^2$ término. No estoy seguro de cómo hacerlo.
Lo que incluí arriba es la forma en que se me presentó el problema, creo que sería mejor dejar el espaciado de celosía explícitamente y tomar el límite que $a\rightarrow 0$ , ya que se supone que esta es una teoría de campo medio de "grano grueso"
Llego tarde a la fiesta, pero si la variación en el campo es pequeña, puede descartar todas las derivadas superiores, lo que elimina el segundo término.

Sahand Tabatabaei · Answer 1

Puede escribir la parte de interacción (a escala) de la acción como:

S_{I} \equiv \int_{R^{d}} d^{d} r ϕ (r) \int_{R^{d}} d^{d} r^{'} k (r - r^{'}) ϕ (r^{'})

$S_I \equiv \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi(\mathbf r)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ K(\mathbf r-\mathbf r') \ \phi(\mathbf r')$ Consideremos la integral interior

r^{'}

$\mathbf r'$ primero (lo llamaré

I

$\mathcal I$ para facilitar las cosas). En expansión

ϕ (r^{'})

$\phi(\mathbf r')$ alrededor

r

$\mathbf r$ da :

I \equiv \int_{R^{d}} d^{d} r^{'} k (r - r^{'}) ϕ (r^{'}) \approx \int_{R^{d}} d^{d} r^{'} k (r - r^{'}) (ϕ (r) + \sum_{i = 1}^{d} (X_{i}^{'} - X_{i}) \partial_{i} ϕ (r) + \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{d} \sum_{j = 1}^{d} (X_{i}^{'} - X_{i}) (X_{j}^{'} - X_{j}) \partial_{i} \partial_{j} ϕ (r))

$\mathcal I \equiv\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ K(\mathbf r-\mathbf r') \ \phi(\mathbf r') \approx \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ K(\mathbf r-\mathbf r') \ \bigg(\phi(\mathbf r)+ \sum_{i=1}^d (x_i'-x_i)\partial_i \phi(\mathbf r) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\frac 12\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^d (x_i'-x_i)(x_j'-x_j)\partial_i \partial_j \phi(\mathbf r) \bigg)$ Ahora toma la integral adentro para obtener:

I \approx ϕ (r) \int_{R^{d}} d^{d} r^{'} k (r - r^{'}) + \sum_{i = 1}^{d} \partial_{i} ϕ (r) \int_{R^{d}} d^{d} r^{'} (X_{i}^{'} - X_{i}) k (r - r^{'}) + \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{d} \sum_{j = 1}^{d} \partial_{i} \partial_{j} ϕ (r) \times \int_{R^{d}} d^{d} r^{'} (X_{i}^{'} - X_{i}) (X_{j}^{'} - X_{j}) k (r - r^{'}))

$\mathcal I\approx \phi(\mathbf r) \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ K(\mathbf r-\mathbf r') \ + \sum_{i=1}^d \partial_i \phi(\mathbf r)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ (x_i'-x_i) K(\mathbf r-\mathbf r') +\frac 12\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^d \partial_i \partial_j \phi(\mathbf r) \times\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r'(x_i'-x_i)(x_j'-x_j)K(\mathbf r-\mathbf r') \bigg)$ Suponiendo ahora que el acoplamiento es homogéneo,

K (r - r^{'}) \equiv K (r^{'} - r)

$K(\mathbf r-\mathbf r')\equiv K(\mathbf r'-\mathbf r)$ . Con eso en mente, y también cambiando variables.

R \equiv r^{'} - r

$\mathbf R \equiv \mathbf r'-\mathbf r$ , obtenemos:

I \approx ϕ (r) \int_{R^{d}} d^{d} R k (R) + \sum_{i = 1}^{d} \partial_{i} ϕ (r) \int_{R^{d}} d^{d} R R_{i} k (R) + \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{d} \sum_{j = 1}^{d} \partial_{i} \partial_{j} ϕ (r) \times \int_{R^{d}} d^{d} R R_{i} R_{j} k (R))

$\mathcal I \approx \phi(\mathbf r) \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) \ + \sum_{i=1}^d \partial_i \phi(\mathbf r)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_i K(\mathbf R) +\frac 12\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^d \partial_i \partial_j \phi(\mathbf r) \ \ \ \ \times\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_iR_jK(\mathbf R) \bigg)$ Puedes relacionar cada una de las integrales sobre

R

$\mathbf R$ a la transformada de Fourier de

K (R)

$K(\mathbf R)$ definido como

\tilde{K} (q) \equiv \int_{R^{d}} d^{d} R K (R) \exp (- i q . R)

$\tilde K(\mathbf q) \equiv \int_{\mathbb R^d} d^d \mathbf R \ K(\mathbf R)\exp(-i \mathbf{q} . \mathbf R)$ :

- Primera integral:

\int_{R^{d}} d^{d} R k (R) = \int_{R^{d}} d^{d} R k (R) {mi}^{- i q . R} |_{q = 0} = \tilde{k} (0)

$\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) = \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R} |_{\mathbf q =0} = \tilde K(\mathbf 0)$ - Segunda integral:

\int_{R^{d}} d^{d} R R_{i} k (R) = 0

$\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_i K(\mathbf R) =0$ Debido a que el integrando es extraño como mencionaste.

- Tercera integral:
para esta, primero notamos que, como mencionaste, la integral es cero para todos los diferentes

i, j

$i,j$ . Para

i = j

$i=j$ , primero tenga en cuenta que:

\frac{\partial^{2}}{\partial q_{i}^{2}} \int_{R^{d}} d^{d} R k (R) {mi}^{- i q . R} = \int_{R^{d}} d^{d} R (- i) (- i) R_{i} R_{i} k (R) {mi}^{- i q . R} = - \int_{R^{d}} d^{d} R R_{i}^{2} k (R) {mi}^{- i q . R}

$\frac{\partial^2}{\partial q_i^2} \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R} = \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ (-i)(-i) R_i R_i K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ = - \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_i^2 K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R}$ Lo que implica:

\int_{R^{d}} d^{d} R R_{i}^{2} k (R) = - \frac{\partial^{2}}{\partial q_{i}^{2}} \int_{R^{d}} d^{d} R k (R) {mi}^{- i q . R} |_{q = 0} = - \frac{\partial^{2}}{\partial q_{i}^{2}} \tilde{k} (q) |_{q = 0}

$\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_i^2 K(\mathbf R)=-\frac{\partial^2}{\partial q_i^2} \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R}|_{\mathbf q=0}=-\frac{\partial^2}{\partial q_i^2}\tilde K(\mathbf q) |_{\mathbf q=0}$ Ahora, si asume que el acoplamiento también es isotrópico, es decir

\exists K : K (R) \equiv K (| R |)

$\exists \mathcal K : K(\mathbf R) \equiv \mathcal K(|\mathbf R|)$ , la transformada de Fourier de

K

$K$ se convertirá en una función de una sola variable, lo que significa que la tercera integral es solo

- {\tilde{K}}^{″} (0)

$-\tilde K''(0)$ .

En resumen,

I

$\mathcal I$ es:

I \approx ϕ (r) \tilde{k} (0) - \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{d} \partial_{i}^{2} ϕ (r) {\tilde{k}}^{″} (0)

$\mathcal I \approx \phi(\mathbf r) \tilde K(0) \ - \frac 12\sum_{i=1}^d \partial_i^2 \phi(\mathbf r) \tilde K''(0)$ Así, el término de interacción en la acción es:

S_{I} = \int_{R^{d}} d^{d} r ϕ (r) I = \int_{R^{d}} d^{d} r ϕ (r) (ϕ (r) \tilde{k} (0) - \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{d} \partial_{i}^{2} ϕ (r) {\tilde{k}}^{″} (0))

$S_I = \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi(\mathbf r) \mathcal I = \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi(\mathbf r)\bigg(\phi(\mathbf r) \tilde K(0) \ - \frac 12\sum_{i=1}^d\partial_i^2 \phi(\mathbf r) \tilde K''(0)\bigg)$

= \tilde{k} (0) \int_{R^{d}} d^{d} r ϕ^{2} (r) - \frac{{\tilde{k}}^{″} (0)}{2} \sum_{i = 1}^{d} \int_{R^{d}} d^{d} r ϕ (r) \partial_{i}^{2} ϕ (r)

$=\tilde K(0)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi^2(\mathbf r) - \frac {\tilde K''(0)}2\sum_{i=1}^d \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi(\mathbf r) \ \partial_i^2 \phi(\mathbf r)$ Integrar por partes en el segundo término da como resultado (los términos de frontera desaparecen porque

ϕ (r) \to 0

$\phi(\mathbf r) \to 0$ como

| r | \to \infty

$|\mathbf r| \to \infty$ para que las integrales converjan):

S_{I} = \tilde{k} (0) \int_{R^{d}} d^{d} r ϕ^{2} (r) + \frac{{\tilde{k}}^{″} (0)}{2} \sum_{i = 1}^{d} \int_{R^{d}} d^{d} r \partial_{i} ϕ (r) \partial_{i} ϕ (r)

$S_I =\tilde K(0)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi^2(\mathbf r) + \frac {\tilde K''(0)}2\sum_{i=1}^d\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \partial_i \phi(\mathbf r) \ \partial_i \phi(\mathbf r)$

= \tilde{k} (0) \int_{R^{d}} d^{d} r ϕ^{2} (r) + \frac{{\tilde{k}}^{″} (0)}{2} \int_{R^{d}} d^{d} r \sum_{i = 1}^{d} (\partial_{i} ϕ (r))^{2}

$=\tilde K(0)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi^2(\mathbf r) + \frac {\tilde K''(0)}2 \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \sum_{i=1}^d (\partial_i \phi(\mathbf r))^2$

= \int_{R^{d}} d^{d} r (\tilde{k} (0) ϕ^{2} (r) + \frac{{\tilde{k}}^{″} (0)}{2} (\partial ϕ (r))^{2})

$=\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \bigg( \tilde K(0) \phi^2(\mathbf r) + \frac {\tilde K''(0)}2 \ \big( \partial \phi(\mathbf r) \big)^2 \bigg)$ Conectar esto en la acción completa finalmente da:

S [ϕ] = \int_{R^{d}} d^{d} r (\frac{{\tilde{k}}^{″} (0)}{8} (\partial ϕ (r))^{2} + (\frac{\tilde{k} (0)}{4} - \frac{1}{2}) ϕ^{2} (r) + \frac{1}{12} ϕ^{4} (r))

$S[\phi] =\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \bigg( \frac {\tilde K''(0)}8 \ \big( \partial \phi(\mathbf r) \big)^2 + \left(\frac {\tilde K(0)}{4}- \frac 12\right) \phi^2(\mathbf r) + \frac 1{12} \phi^4(\mathbf r) \bigg)$ Observe que el coeficiente del término cuadrático puede cambiar de signo con la temperatura (a través de

\tilde{K}

$\tilde K$ ), que es un signo de una transición de fase .

¡Muchas gracias! Pude obtener el término cuadrático correcto y noté que desde $\tilde{K} \propto \beta^{-1}$ que a baja temperatura el signo cambiará y habrá una transición de fase, simplemente no pude obtener el primer término. Todavía no he analizado toda su solución, pero gracias.
Había estado tratando de hacer algo similar a lo que hiciste para la tercera integral, pero primero estaba insertando la transformada inversa, después de lo cual no pude encontrar la forma de aplicar las derivadas, ya que tenía ambas. $K$ y el factor de fase dependiendo de $\mathbf{q}$ . No lo había pensado de esta manera. Gracias de nuevo, esto ha sido bastante instructivo y útil.
Estaba revisando esto nuevamente, creo que quisiste decir que el término límite se desvanece porque $\phi(\mathbf r)\to 0$ como $|\mathbf r| \to \infty$ .
Si eso es correcto. ¡Eso fue un error! He editado mi respuesta.

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