Me he estado preguntando por qué alguien pensó alguna vez que podríamos encontrar una expansión para los estados propios de algunos hamiltonianos perturbados en términos de los del hamiltoniano base. Mi profesor insistió en que esto se debía a que los estados propios del hamiltoniano están completos, sin embargo, desde mi comprensión (limitada) de la base matemática de QM:
Cuando se le da un hamiltoniano, viene con el espacio de funciones de Hilbert del cual actúa (sujeto a algunas condiciones que imponemos, como el cuadrado de Lebesgue: integrabilidad de funciones)
Cuando se le da otro hamiltoniano, no hay garantía de que actuará en el mismo espacio de Hilbert.
Por lo tanto, que el hamiltoniano de orden cero tenga estados propios que forman una base completa para el espacio sobre el que actúa ti no garantiza que estos mismos estados propios formen una base completa para el espacio de Hilbert sobre el que actúa el hamiltoniano purificado.
Como un ejemplo sencillo. Puedo imaginar agregar un pequeño campo magnético perturbador a un hamiltoniano en el que inicialmente no hay ninguno, de modo que perdamos la degeneración en los estados propios que representan los diferentes espines de una partícula. Se podría decir que tenemos el mismo espacio de Hilbert antes y después pero perdemos la degeneración; o me hubiera sentido tentado a decir que nuestro espacio de Hilbert inicial no tenía estas dimensiones adicionales correspondientes a los estados de espín. Entonces, en lugar de que los estados propios del hamiltoniano de base también formen una base completa para el hamiltoniano purtubado, pero con una degeneración de valores propios que se eleva en la purtubación, habría dicho que nuestro espacio de Hilbert ha cambiado. Después de todo, si adoptamos el punto de vista anterior (es decir, una base que contabiliza el espín pero con degeneración), entonces parece que para cualquier problema necesitaríamos conocer y tener en cuenta CADA propiedad posible del sistema que se pueda discernir. Esto no me parece razonable...
NOTA:
1) Mi pregunta se hizo aquí anteriormente: Teoría de la perturbación en la mecánica cuántica: suposiciones sobre los vectores propios
aunque solo hay una discusión y no se da una respuesta concluyente. Veo que la distinción es importante en QM relativista, y el caso de agregar un potencial a un hamiltoniano de partículas libres parece ser especial. Aunque todavía no estoy seguro de cuál es la respuesta para las purturbaciones generales.
2) Pregunta similar aquí: ¿ Naturaleza del estado perturbado en la teoría de la perturbación?
pero parece evitar por completo responder a la pregunta.
Algunos peligros potenciales de la teoría de la perturbación se han observado bien en las referencias, como los problemas con la afirmación fundamental de que una perturbación 'pequeña' corresponde a una desviación 'pequeña' de los vectores propios/valores propios originales. Por ejemplo, eche un vistazo al capítulo XII de Methods of Mathematical Physics de Reed y Simon, Vol. 4 o al capítulo 2 de Perturbation Theory for Linear Opperators de Kato, 2ed. Sin embargo, como se muestra en esas referencias, bajo algunos supuestos fuertes se puede encontrar un comportamiento regular.
En los casos que uno suele explorar en la teoría de perturbaciones, el hamiltoniano original y el perturbado son tan autoadjuntos como suele afirmarse en contextos de física (por supuesto, el problema de la verdadera autoadjunción de los operadores es una preocupación constante en física y seguramente ha explorado en muchas otras preguntas en este sitio). Esto le otorga integridad bajo los supuestos del teorema espectral.
En ese sentido, no estaría tan preocupado como tú por los operadores que actúan en diferentes espacios, particularmente en el ejemplo que sugieres sobre el efecto Zeeman. El hecho de que estuvieras ignorando el espín antes de la perturbación simplemente muestra que te estabas saltando el estudio de esa degeneración. Este espacio degenerado no es particularmente enfermo, ya que puedes encontrar una base ortonormal y hacer física sin problemas. Si lo piensas bien, podríamos estar igualmente preocupados por otras degeneraciones provenientes, por ejemplo, del espín del núcleo o incluso de las excitaciones del campo electromagnético. Se han desarrollado formalismos para incluirlos, simplemente comenzamos centrándonos en un subespacio más simple. En última instancia, una vez que escribimos , asumimos implícitamente que todos actúan sobre el mismo espacio de Hilbert. Experimentalmente, la perturbación simplemente abre una ventana a un subespacio que habíamos ignorado previamente.
lewis molinero