¿Los sistemas con pasos a nivel tienen bases propias inestables?

No, la base propia no es inestable a medida que el hamiltoniano se acerca al momento del paso a nivel, y esto se puede ver considerando una aproximación adiabática que desacopla los dos niveles de energía del cruce del resto.$\def\ket#1{|#1\rangle}\def\bra#1{\langle#1|}.$

¿Cómo se puede engañar a uno para que piense que la base propia es inestable?

Primero, considere por qué uno podría pensar que los vectores propios son intrínsecamente inestables. Dejar$\ket{E_0}, \ket{E_1}$ser el$E_0$-vector propio y$E_1$-eigenvector respectivamente, y sea$R: \mathbb C^2 \to \mathcal H$ser un mapeo de operadores$\ket0 \mapsto \ket{E_0}$y$\ket{1} \mapsto \ket{E_1}$respectivamente. La tasa de cambio de$R$, uno podría imaginar, se relaciona directamente con la rapidez con que cambian los estados propios:

$$\ket{\dot E_j} = \tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \Bigl[ R \ket{j} \Bigr] = \dot R \ket{j} .$$ Tenga en cuenta que porque $R^\dagger R = 1$por construcción, tenemos $$0 = \tfrac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl[ R^\dagger R \Bigr] = \dot R^\dagger R + R^\dagger \dot R ,$$ lo que implica que $R^\dagger \dot R$es anti-ermitano. Para obtener la tasa de cambio de $R$, considere el hecho de que $$H = R D R^\dagger$$ para $D = \mathrm{diag}(E_0,E_1)$, de modo que $$\dot H = \dot R D R^\dagger + R \dot D R^\dagger + R D \dot R^\dagger ,$$ lo que implica que para distintos $j,k \in \{0,1\}$, $$\begin{aligned}[b] \bra{E_j} \dot H \ket{E_k} &= \bra{E_j} \dot R D \ket{k} + \bra{j} \dot D \ket{k} + \bra{j} D \dot R^\dagger \ket{E_k} \\&=E_k \bra{j}R^\dagger \dot R \ket{k} + E_j \bra{j} \dot R^\dagger R \ket{k} \\&=(E_k - E_j) \bra{j} R^\dagger \dot R \ket{k} \\&=(E_k - E_j) \bra{E_j} \dot R R^\dagger \ket{E_k}. \end{aligned}$$ Esto parecería implicar que si $E_j - E_k$desaparece, entonces la norma del operador de $\dot R R^\dagger$(y por tanto de $\dot R$sí mismo) aumentará sin límite a menos que los términos cruzados de $\dot H$en el $\ket{E_j}$-base también se desvanecen.

Una observación que señala el camino a seguir

La pregunta clave al considerar los términos cruzados para$\dot H$en el$\ket{E_j}$-base es: ¿cómo se determina esa base para empezar, para evaluar los términos cruzados? Sin poder resolver los estados propios para los tiempos que se acercan al cruce, solo nos queda el tiempo del cruce en sí mismo y, lo que es más importante, el espacio propio allí está degenerado, lo que significa que el hecho de que tengamos una base propia en mente no hace que es la elección físicamente sensata.

Mi conjetura original (en una edición anterior de la pregunta) no involucraba al proyector$\Pi$sobre$\mathrm{span}\{\ket{E_0},\ket{E_1}\}$. Pero luego se me ocurrió que es irrelevante si o no$\dot H$no puede viajar con$H$si esto se debe a que algunos de los otros estados propios de$H$no son estados propios de$\dot H$. Lo que realmente importa es si$\dot H$falla, para los dos valores propios que se cruzan solos (por así decirlo), para conmutar con$H$. Entonces, lo que realmente nos importa es solo el subespacio abarcado por$\ket{E_0}$y$\ket{E_1}$, lo que lleva a la modificación de la conjetura utilizando el proyector$\Pi$. Pero en el momento de la travesía,$\Pi H = E_0 \Pi$por eso mismo: en el subespacio, es proporcional a la identidad, que conmuta con todo. Así tendremos

$$0 = [H, \Pi \dot H] = H \Pi \dot H - \Pi \dot H H = \Pi [H, \dot H].$$ Es decir, siempre se cumplirán las condiciones de la conjetura, lo que debería indicar que la preocupación no es por nada.

Restricción adiabática: un boceto

Si los otros valores propios de$H$están delimitados lejos de$E_0$y$E_1$por una constante cerca del cruce, realmente no nos importa hasta qué punto$\ket{\dot E_j}$para$j \in \{0,1\}$se superpone a los otros vectores propios de$H$: según el análisis anterior, esperamos que lo hagan en una cantidad finita. Sólo estamos realmente preocupados por la magnitud de$\bra{E_j} \dot H \ket{E_k}$. Así que podemos restringir completamente nuestra atención al acoplamiento efectivo de$\ket{E_0}$y$\ket{E_1}$por$\dot H$, lo que quiere decir que en efecto podemos reemplazar$\dot H$con$\Delta = \Pi \dot H \Pi$.

Habiendo hecho esto, ahora tenemos en efecto un operador hermitiano$\Delta$en un subespacio bidimensional, que obviamente tiene dos vectores propios que abarcan el espacio. Estos son los dos vectores propios comunes$\ket{\delta_0}, \ket{\delta_1}$de$\dot H$y$H$en el paso a nivel, y los términos cruzados de$\dot H$entre estos dos vectores será cero cerca del paso a nivel.

Los dos vectores$\ket{\delta_0},\ket{\delta_1}$pueden no ser vectores propios de$\dot H$, pero sí nos permiten ver que$R^\dagger \dot R$puede tener una norma de operador acotada en una vecindad del tiempo$T$del paso a nivel, cuando se restringe a$\mathrm{span} \{ \ket{E_0}, \ket{E_1} \}$, si$\ket{E_0} = \ket{\delta_0}$y$\ket{E_1} = \ket{\delta_1}$en el momento$T$. Para$t$cerca de$T$, un argumento adiabático indicaría que$\ket{E_0}$y$\ket{E_1}$en su mayoría no interactuará con los otros estados propios de energía si la evolución es lo suficientemente lenta, por lo que esperamos$\ket{\delta_0}, \ket{\delta_1}$ser casi vectores propios de$H$para$t \approx T$. Hay una cuestión de qué tan rápido$\ket{E_j}$converge a$\ket{\delta_j}$, que determina qué tan rápido los términos cruzados$\bra{E_j} \dot H \ket{E_k}$desaparecer; sin embargo, términos cruzados grandes corresponderían a valores propios grandes de$\Delta \propto \Pi H \Pi + \text{const.}$, lo que debe causar$R^\dagger \dot R$para converger rápidamente a un operador diagonal en el$\ket{\delta_j}$-base.

Los coeficientes de$R^\dagger \dot R$porque los otros niveles de energía en la base propia de energía deben estar acotados debido a las diferencias de valor propio entre ellos, o por razones similares si exhiben sus propios cruces de nivel.

Así que no: no debería haber inestabilidad de la base propia.