¿El estado fundamental en QM es siempre único? ¿Por qué?

Creo que es cierto mientras no exista un operador unitario no trivial$U$que conmuta con el hamiltoniano ($[H,U] = 0$) en el subespacio de estados fundamentales. Si tal operador existe, entonces para un estado fundamental$|\phi_0\rangle$con energia$E_0$tenemos

Más sucintamente, si existe un operador unitario$U$tal que$[H,U]=0$y$U|\phi_0\rangle\neq e^{i\theta}|\phi_0\rangle$para cualquier fase$\theta$entonces tenemos la degeneración del estado fundamental.

En el ejemplo que ha dado, vemos que los elementos de la matriz en la base dada$\{|a\rangle,|b\rangle,|c\rangle\}$es

Prueba de que la inexistencia de$U$implica un estado fundamental no degenerado:

Asumir$\nexists U$S t$\{[H,U]=0 ~~\mbox{and}~~ U|\phi_0\rangle \neq e^{i\theta}|\phi_0\rangle\}$

Ahora, para cada estado$|a\rangle$y$|b\rangle$,$\exists U_{ab}$que es unitario que nos lleva de$|a\rangle\rightarrow|b\rangle$. Estamos interesados ​​en el operador que nos lleve de$|\phi_0\rangle$a cualquiera $|a\rangle$en nuestro espacio de Hilbert (que obviamente incluye todos los estados fundamentales posibles), que denotamos por$U_{a0}$. Esto significa que cualquier estado$|a\rangle$Se puede escribir como$|a\rangle = U_{a0}|\phi_0\rangle$. Por nuestra suposición inicial$U_{a0}$cualquiera satisface

Si (2), entonces$|a\rangle = e^{i\theta}|\phi_0\rangle$y entonces$|a\rangle$y$|\phi_0\rangle$representan el mismo estado.

Así la inexistencia de$U$implica la inexistencia de un segundo estado fundamental y, por lo tanto, la no degeneración.

Para ser claro:

¿El estado fundamental de un sistema cuántico siempre es no degenerado?

la respuesta es un rotundo no . Los sistemas cuánticos reales pueden tener y tienen estados fundamentales degenerados.

Algunos ejemplos:

• Para un sistema de tres niveles con hamiltoniano

  $$H=\begin{pmatrix}1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix},$$ como lo indica el OP, el estado fundamental es degenerado. Esto debería ser todo lo que se necesita para demostrar que la afirmación es falsa en general.

• Prácticamente todos los átomos en un vacío sin campo tienen estados fundamentales degenerados, siendo los ejemplos más simples el boro y el carbono, que tienen$p$-Electrones de capa que se ajustan a múltiples estados ortogonales de números cuánticos magnéticos con exactamente la misma energía. Lo mismo es cierto para casi toda la tabla periódica, con la excepción de los átomos con subcapas completas. Así, los metales alcalinotérreos, los gases nobles y las columnas más a la derecha de los metales de transición y las tierras raras tienen estados fundamentales no degenerados, y todo lo demás es degenerado.

  (Por otro lado, es importante tener en cuenta que este tipo de estados fundamentales degenerados pueden ser relativamente frágiles, por lo que, por ejemplo, si el átomo se desvía hacia un campo magnético perdido, eso eliminará la degeneración, a menudo en una cantidad no trivial. Sin embargo, , eso no significa que el estado fundamental del átomo libre no sea degenerado).

• Esta es exactamente la misma situación que la señalada en un comentario , con respecto a los núcleos atómicos, cuyo estado fundamental tendrá genéricamente un momento angular distinto de cero y, por lo tanto, será espacialmente degenerado.

• Una gran cantidad de materiales ferromagnéticos y antiferromagnéticos en redes que exhiben frustración geométrica , que se exhibe mejor gráficamente:

  

  Es decir, si se conectan tres espines con acoplamientos antiferromagnéticos por pares, intentarán apuntar en direcciones opuestas entre sí, pero no existe una solución global que evite las alineaciones paralelas de alta energía. Esto conduce naturalmente a una variedad de estado fundamental degenerada.

Ahora, hay una gran clase de hamiltonianos para los que se puede demostrar que el estado fundamental no es degenerado: se exploran con cierta profundidad y con buenas referencias en este hilo de MathOverflow , que incluye muchos hamiltonianos de la forma$-\nabla^2 +V$, independientemente de la dimensión, para partículas cuánticas distinguibles. Sin embargo, esta clase no incluye todos los sistemas posibles, particularmente una vez que incluye estadísticas de partículas fermiónicas con requisitos estrictos de antisimetría en la función de onda.

No estoy seguro de esto, pero si usa ese operador unitario para generar otro estado fundamental, entonces (si no hay un potencial infinito entre los estados fundamentales) puede encontrar cierta amplitud para hacer un túnel entre los dos estados y, por lo tanto, el estado fundamental es una combinación lineal de los dos siendo una de las combinaciones más baja que la original (y la otra más alta que la original). Para las personas que desean una explicación real, consulte el capítulo 21 de Shankar Principles of QM, la sección sobre formalismo de tiempo imaginario.