¿Qué representan físicamente los elementos fuera de la diagonal de la matriz hamiltoniana?

Una pregunta breve: ¿cuál es el "significado físico" de los elementos fuera de la diagonal de la matriz hamiltoniana? Tal como se ve un Matraix hamiltoniano:

H ^ = ( mi 11 mi 12 mi 21 mi 22 )
Mi maestro me dijo un elemento de matriz de este tipo:
mi 21 = ⟨ 2 | H ^ | 1 ⟩
Correspondiente a la amplitud de transición de | 1 ⟩ a | 2 ⟩ . Lo pensé durante días, pero simplemente no puedo entenderlo.

Si existen entradas diagonales, | 1 ⟩ y | 2 ⟩ no son estados propios, por lo que debemos preocuparnos por la transición de uno al otro. ¿Has visto el hecho de que Exp ⁡ ( − i H ^ t / ℏ ) resuelve la ecuación de Schroedinger?
@ConnorBehan ¡Sí! ¡Tienes razón! Pero tengo otro problema: sé esto: mi 21 = ⟨ 2 | mi X pag ( − i H ^ t / ℏ ) | 1 ⟩ representan la amplitud de transición de transición de | 1 ⟩ a | 2 ⟩ , Pero todavía no tengo idea de cuál es la relación entre ⟨ 2 | mi X pag ( − i H ^ t / ℏ ) | 1 ⟩ y ⟨ 2 | H ^ | 1 ⟩ , ¿puedo tener más consejos de usted por favor?
@ConnorBehan Intenté usar la expansión de Taylor para expandir el operador de evolución, pero parece que no puede ayudar ya que | 1 ⟩ no es el estado propio de H ^ como dijiste, entonces no hay tal ⟨ 2 | ( H ^ ) norte | 1 ⟩ = ⟨ 2 | H ^ | 1 ⟩ norte , creo que todavía no puedo decir algo al respecto :(

Respuestas (3)

Recuerde, el significado del hamiltoniano en primer lugar es que genera traslaciones de tiempo a través de la ecuación de Schrödinger:

i ℏ ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ = H ^ | ψ ( t ) ⟩
Puede resolver formalmente la ecuación de Schrödinger de un hamiltoniano independiente del tiempo como | ψ ( t ) ⟩ = mi − i H t / ℏ | ψ ( 0 ) ⟩ . Para ganar algo de intuición, expanda la exponencial en series de potencias:
| ψ ( t ) ⟩ = | ψ ( 0 ) ⟩ − i t ℏ H | ψ ( 0 ) ⟩ − t 2 2 ℏ 2 H 2 | ψ ( 0 ) ⟩ + …
Ahora, imagine iniciar su sistema en el estado | 1 ⟩ . Entonces, de acuerdo con la ecuación anterior, si H tiene elementos fuera de la diagonal que conectan el estado | 1 ⟩ al Estado | 2 ⟩ , entonces la ecuación de Schrödinger generará cierta amplitud para que el sistema en un momento posterior esté en el estado | 2 ⟩ . La velocidad a la que el estado pasa de | 1 ⟩ a | 2 ⟩ será proporcional a ⟨ 2 | H | 1 ⟩ , al menos a primer orden en t . Puede ver esto simplemente usando una resolución de la identidad, 1 = | 1 ⟩ ⟨ 1 | + | 2 ⟩ ⟨ 2 | :
| ψ ( t ) ⟩ = | 1 ⟩ − i t ℏ ( ⟨ 1 | H | 1 ⟩ | 1 ⟩ + ⟨ 2 | H | 1 ⟩ | 2 ⟩ ) + …

¡Muchas gracias! Todavía tengo una última cosa para confirmar: desde H ^ no es una matriz diagonal (lo que significa | 1 ⟩ y | 2 ⟩ no son los estados propios de H ^ ), esto conduce a: no existe tal ⟨ 2 | ( H ^ ) norte | 1 ⟩ = [ ⟨ 2 | H ^ | 1 ⟩ ] norte en la expansión de Taylor, por lo que usamos algún tipo de aproximación para una mejor comprensión, finalmente obtenemos esto:
⟨ 2 | H ^ | 1 ⟩ ∝ ⟨ 2 | mi X pag ( − i H ^ t / ℏ ) | 1 ⟩
¿Tengo razón?
La aproximación de detenerse en norte = 1 Sí. ⟨ 2 | H | 1 ⟩ no es literalmente la amplitud de transición... solo su primer término no trivial.
@Connor Behan ¡Genial! ¡Muchas gracias!

Esto es similar a la respuesta de Zack, pero en un nivel más elemental.

Debe comenzar con la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

i ℏ d d t | ψ ( t ) ⟩ = H ^ | ψ ( t ) ⟩

Usando su matriz hamiltoniana dada y escribiendo el estado | ψ ( t ) ⟩ como vector columna esto se convierte en

i ℏ ψ ˙ 1 ( t ) = mi 11 ψ 1 ( t ) + mi 12 ψ 2 ( t ) i ℏ ψ ˙ 2 ( t ) = mi 21 ψ 1 ( t ) + mi 22 ψ 2 ( t ) .

Ahora supongamos que el sistema comienza en el estado | 1 ⟩ . Eso significa que la condición inicial es | ψ ( 0 ) ⟩ = | 1 ⟩ o

ψ 1 ( 0 ) = 1 ψ 2 ( 0 ) = 0.

Entonces la solución para pequeños t es

ψ 1 ( t ) = 1 − i mi 11 t ℏ + O ( t 2 ) ψ 2 ( t ) = − i mi 21 t ℏ + O ( t 2 )

Aquí ves, es el elemento de la matriz. mi 21 determinar qué tan rápido ψ 2 componente crece de cero a valores mayores.

Los elementos fuera de la diagonal representan el "acoplamiento" entre esos estados básicos. Creo que es igual a la amplitud de transición dentro de la aproximación perturbativa. Para comprender los elementos fuera de la diagonal, considere lo que sucedería si fueran cero. Entonces la matriz hamiltoniana diagonal ya está expresada en los estados propios del hamiltoniano. H ^ | 1 ⟩ = mi 11 | 1 ⟩ y H ^ | 2 ⟩ = mi 22 | 2 ⟩ . Esto solo ocurre cuando ⟨ 1 | H ^ | 2 ⟩ = 0 . Si ⟨ 1 | H ^ | 2 ⟩ ≠ 0 , entonces los estados | 1 ⟩ y | 2 ⟩ están unidos por eso H ^ , y los estados propios de H ^ habrá alguna superposición de | 1 ⟩ y | 2 ⟩ .

¿Qué representan físicamente los elementos fuera de la diagonal de la matriz hamiltoniana?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v