¿Por qué necesitamos tanto el espacio hamiltoniano como el de Hilbert para especificar un sistema cuántico?

Question

¿Por qué necesitamos tanto el espacio hamiltoniano como el de Hilbert para especificar un sistema cuántico?

Wei Ting Kuo

Según tengo entendido, cuando tenemos el hamiltoniano, en principio podemos conocer los estados propios de nuestro sistema de interés. Entonces, podemos calcular todo lo que queramos.

Además, estos estados propios formarán un espacio de Hilbert de nuestro sistema cuántico. Parece que tener hamiltoniano es suficiente para especificar un sistema cuántico.

Sin embargo, hay algunos libros de texto que mencionan que necesitamos tanto Hamiltonian como Hilbert Space para especificar un sistema cuántico.

¿Por qué necesitamos realmente el espacio de Hilbert para especificar nuestro sistema cuántico?

Estilo clásico

Esto parece un poco similar a preguntar por qué necesitamos espacios vectoriales si tenemos las leyes de Newton... es esencial para desarrollar la teoría y darle sentido.

fénix87

Un hamiltoniano en mecánica cuántica es un operador en algún espacio de Hilbert, generalmente ilimitado pero autoadjunto. ¿Cómo puedes tener un hamiltoniano si no sabes dónde actúa? Por ejemplo, supongamos que

H

$H$ es el operador que estira cada vector por la cantidad positiva

λ

$\lambda$ . ¿Cómo representarías

H

$H$ como matriz? ¿Es 2x2, 3x3, 147x147?

una mente curiosa

Como dice Phoenix87, esta pregunta no tiene sentido: no puede dar un operador sin dar el espacio en el que actúa; dar un hamiltoniano sin un espacio de Hilbert simplemente no tiene sentido.

Respuestas (2)

¿Por qué necesitamos tanto el espacio hamiltoniano como el de Hilbert para especificar un sistema cuántico?

Esto parece un poco similar a preguntar por qué necesitamos espacios vectoriales si tenemos las leyes de Newton... es esencial para desarrollar la teoría y darle sentido.
Un hamiltoniano en mecánica cuántica es un operador en algún espacio de Hilbert, generalmente ilimitado pero autoadjunto. ¿Cómo puedes tener un hamiltoniano si no sabes dónde actúa? Por ejemplo, supongamos que $H$ es el operador que estira cada vector por la cantidad positiva $\lambda$ . ¿Cómo representarías $H$ como matriz? ¿Es 2x2, 3x3, 147x147?
Como dice Phoenix87, esta pregunta no tiene sentido: no puede dar un operador sin dar el espacio en el que actúa; dar un hamiltoniano sin un espacio de Hilbert simplemente no tiene sentido.

Yly · Answer 1

Yly

Hay una razón matemática y una (especie de) razón física:

Razón matemática: Para empezar, el hamiltoniano es un operador en un espacio de Hilbert. Sin conocer un espacio de Hilbert, ni siquiera tiene sentido hablar de un operador sobre él.

Razón física (más o menos): lo que parece el mismo hamiltoniano, por ejemplo, el hamiltoniano de partículas libres $H=\frac{P^2}{2m}$ , puede interpretarse significativamente en varios espacios de Hilbert. Por ejemplo, la partícula podría estar moviéndose en un espacio ilimitado $\mathbb{R}^n$ o un espacio acotado como el toro ( $\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ ). Esto hace una diferencia observable: las energías propias del hamiltoniano serán diferentes en los dos casos (el espectro es continuo para $\mathbb{R}^n$ y discreta para el toro).

(La razón por la que digo que el segundo problema es "más o menos" un problema físico es que la razón matemática dada anteriormente en realidad elimina este problema: para ser riguroso, siempre debe especificar primero un espacio de Hilbert y luego un hamiltoniano, y nunca se encontrará con ambigüedades como si el espectro es discreto o continuo).

Wei Ting Kuo

Perdón por no especificar más mi pregunta. Primero, estoy de acuerdo en que primero deberíamos tener el espacio de Hilbert y forma la estructura matemática básica de Nuestro Sistema Cuántico. Lo que quiero preguntar es si nuestra elección sobre el espacio de Hilbert afectará algo. Esto es exactamente lo que mencionas en tu razón física. Sin embargo, no entiendo muy bien lo que quiere decir con diferentes energías propias para diferentes opciones de espacio de Hilbert. Siempre que tengamos un hamiltoniano, las energías propias ya se han decidido, ¿verdad? También tenemos vectores propios, pero estos vectores estarán representados por un vector de estado diferente.

Wei Ting Kuo

Debido a la elección diferente del espacio de Hilbert. Por favor, corríjame si estoy equivocado. Gracias.

Yly

@Wei-TingKuo Quizás un ejemplo más fácil de ilustrar es el operador

x

$x$ . Si el espacio de Hilbert subyacente tiene estados que viven en

R

$\mathbb{R}$ , entonces

x

$x$ puede tener cualquier valor propio de

- \infty

$-\infty$ a

+ \infty

$+\infty$ . Si los estados viven en el intervalo unitario

[0, 1]

$[0,1]$ , entonces

x

$x$ solo puede tener valores propios de 0 a 1. Para el caso mencionado anteriormente,

H = P^{2} / 2 m

$H=P^2/2m$ , sucede algo similar. Sobre el dominio ilimitado,

H

$H$ tiene todos los números reales positivos como valores propios. En el dominio acotado, los valores propios de

H

$H$ son discretos. El último caso es esencialmente un pozo cuadrado.

Wei Ting Kuo

Bueno. Entonces, el dominio del espacio de Hilbert dependerá del hamiltoniano, ¿verdad? Como el caso de partículas libres. El hamiltoniano del pozo cuadrado es solo físico dentro del pozo (fuera del pozo, el hamiltoniano explota, lo cual no es físico). Por lo tanto, el dominio del espacio de Hilbert está acotado. Lo que quiero decir aquí, ¿tiene alguna diferencia física si definimos diferentes espacios de Hilbert para el mismo hamiltoniano (puede ser acotado o no acotado)? Gracias.

Wei Ting Kuo

Esta pregunta proviene del libro de texto "Teoría de campos cuánticos de sistemas de muchos cuerpos" del profesor Xiao-Gang Wen. En este libro de texto, menciona que la diferencia entre calibre y simetría depende de cómo definamos el espacio de Hilbert. ¿Significa también que el único principio para que ajustemos nuestro espacio de Hilbert se basa en la simetría de nuestro hamiltoniano?

Yly

@Wei-TingKuo Primero (y mejor respuesta): no existe tal cosa como "diferentes espacios de Hilbert para el mismo hamiltoniano". Esta es la perspectiva matemática adecuada. Un hamiltoniano es un operador en un espacio de Hilbert particular, período, y no tiene significado para ningún otro espacio de Hilbert. (Una forma equivalente de pensar al respecto es que el hamiltoniano genera traslaciones de tiempo para un espacio de Hilbert en particular y no tiene efecto en ningún otro espacio de Hilbert). Consulte el siguiente comentario para ver otra respuesta.

Yly

@ Wei-TingKuo Sin embargo, puede haber formas útiles de identificar hamiltonianos para diferentes espacios de Hilbert. Este es el ejemplo que puse arriba. Un ejemplo más trivial es la relación entre sistemas de partículas libres en diferentes dimensiones.

H = P^{2} / 2 m

$H=P^2/2m$ tiene sentido en cualquier número de dimensiones, 1, 2, 3,..., pero estos casos son obviamente muy diferentes físicamente. Incluso tienen diferentes simetrías (O(N), por N=dimensión del espacio).

Yly

@ Wei-TingKuo En cuanto a lo que se refiere el libro de texto, no puedo estar seguro. Un posible significado es que, mediante la fijación de calibre, podemos dar una descripción equivalente de un sistema con una simetría de calibre. El sistema de calibre fijo puede representarse mediante un espacio de Hilbert diferente (o bien una superficie dentro de un espacio de Hilbert). El sistema de calibre fijo y el espacio de Hilbert ya no tienen la simetría de calibre original. Estrictamente hablando, también tiene un hamiltoniano diferente (en el sentido mencionado anteriormente), aunque su hamiltoniano obviamente tiene el mismo contenido físico que el del sistema original (sin fijación de calibre)

Wei Ting Kuo

¡Aceptar! tan convincente Tu respuesta es genial. Gracias por tu paciencia y clara explicación. Lo tengo.

Yly

@Wei-TingKuo Además, en su comentario anterior, está pensando en un cuadrado bien definido en el espacio de funciones de Hilbert en toda la línea real, con un potencial definido también en toda la línea real, que tiene una magnitud infinita fuera de un rango finito. Una forma alternativa (más sólida desde el punto de vista matemático) de ver el pozo cuadrado es definirlo en un espacio de Hilbert totalmente diferente: funciones periódicas o funciones de un intervalo. Entonces, el potencial en este espacio es uniformemente cero, y el hamiltoniano es exactamente el "hamiltoniano de partículas libres", solo que en un espacio de Hilbert diferente.

Yly

@Wei-TingKuo Además, puede encontrar esclarecedor el artículo de Wikipedia sobre "Partícula en un anillo".

Conde Iblis · Answer 2

Se necesitan tanto el espacio de Hilbert como el hamiltoniano, pero existe una dualidad entre el espacio de Hilbert y el hamiltoniano. Cuanto más general haga la descripción del sistema y, por lo tanto, cuanto mayor sea el espacio de Hilbert, más simple será el hamiltoniano.

Considere, por ejemplo, el hamiltoniano que describe una molécula simple H2O viva. Este es un hamiltoniano extremadamente complejo, contiene todas las interacciones entre todos los electrones en esta molécula. Sin embargo, este hamiltoniano solo se aplica a los estados donde hay un número correcto de electrones y núcleos. Supongamos que consideramos un espacio de Hilbert más grande y un hamiltoniano más general. Por ejemplo, el hamiltoniano del modelo estándar puede describir sistemas que necesitan un espacio de Hilbert mayor para especificarse. Ese hamiltoniano es mucho más simple de especificar que el hamiltoniano de una molécula de H2O, pero ahora necesita más información para especificar un estado de H2O en el espacio de Hilbert más grande que describe el modelo estándar.

Gracias por tu respuesta. Lo que me confunde con tu explicación es que el significado de "más general". ¿Quiere decir que tenemos menos grados de libertades en un hamiltoniano más general? Gracias
@Wei-TingKuo Sí, esto supone que se trata de las leyes conocidas de la física, no de un modelo artificial. Las leyes fundamentales son fáciles de enunciar, pero cuando se considera un sistema dado cuyos grados de libertad están en su mayoría "congelados" excepto unos pocos, entonces los pocos grados de libertad restantes serán descritos por un hamiltoniano efectivo, que puede ser extremadamente complejo.

¿Por qué necesitamos tanto el espacio hamiltoniano como el de Hilbert para especificar un sistema cuántico?

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