"Buenos estados" en la teoría de perturbaciones degeneradas

Orden cero en la teoría de perturbaciones

El punto de partida para la teoría de perturbaciones es de orden cero, cuando ignoramos la perturbación y nos enfocamos en el hamiltoniano libre,$H_0$. Para que la teoría de la perturbación degenerada sea relevante, debe darse el caso de que el hamiltoniano libre tenga al menos un nivel de energía degenerado. Cualquier simetría remanente se puede usar para clasificar los estados después de que se levanta la degeneración.

Para hacer esto concreto, supongamos en energía$E$, hay un subespacio degenerado bidimensional. digamos que$|a\rangle$y$|b\rangle$forman una base para este subespacio. Entonces, hay un número infinito de estados que tienen energía$E$, de la forma$c_1 | a\rangle + c_2 |b\rangle$, dónde$|c_1|^2 + |c_2|^2 = 1$. Más concretamente, para todos los pares de números complejos$c_1$y$c_2$obedeciendo la condición de normalización,

$$\begin{equation} H_0 \left(c_1 | a \rangle + c_2 | b \rangle \right) = E\left(c_1 | a \rangle + c_2 | b \rangle\right) \end{equation}$$ En otras palabras, todos los estados en este espacio bidimensional tienen la misma energía.$E$, y todos ellos son estados propios del hamiltoniano libre.

Primer orden en la teoría de perturbaciones

Ahora, vamos al primer orden en la teoría de la perturbación y agregamos la perturbación hamiltoniana,$H_1$. Típicamente, el resultado de la perturbación es levantar la degeneración de los estados con energía$E$. Esto significa que el nivel de energía$E$se dividirá en dos niveles de energía, uno con energía$E + \delta E_1$y uno con energia$E + \delta E_2$, con$\delta E_1 \neq \delta E_2$.

Como resultado, el estado general de la forma$c_1 |a \rangle + c_2 | b \rangle$, que era un estado propio del hamiltoniano libre$H_0$con energia$E$, no será un estado propio del hamiltoniano completo$H_0 + H_1$.

Sin embargo, habrá un par especial de estados propios del hamiltoniano libre, que llamaremos$|A \rangle$y$|B \rangle$, que también son estados propios de$H_0 + H_1$, con energías$E+\delta E_1$y$E + \delta E_2$, respectivamente. Estos son los llamados "buenos estados". Permítanme repasar algunas propiedades de ellos y luego hablar sobre cómo encontrarlos.

Propiedades de los estados "buenos" y "malos"

Escribamos algunas propiedades de estos estados especiales$|A \rangle$y$|B \rangle$, así como los estados no tan especiales$|a\rangle$y$|b\rangle$, en ecuaciones.

• Primero, desde$|A\rangle$y$|B\rangle$son miembros del subespacio degenerado de$H_0$con energia$E$, se pueden ampliar en términos de$|a\rangle$y$|b \rangle$ $$\begin{eqnarray} |A \rangle &=& \alpha_1 | a \rangle + \alpha_2 | b \rangle \\ | B \rangle &=& \beta_1 | a \rangle + \beta_2 | b \rangle \end{eqnarray}$$ dónde$\alpha_{1, 2}$y$\beta_{1,2}$son números complejos (puede pensar en ellos como opciones específicas de$c_1$y$c_2$). También puedes expresar$|a \rangle$y$|b\rangle$en términos de$|A\rangle$y$B\rangle$ $$\begin{eqnarray} |a \rangle &=& \gamma_1 | A \rangle + \gamma_2 | B \rangle \\ | b \rangle &=& \lambda_1 | A \rangle + \lambda_2 | B \rangle \end{eqnarray}$$
• Segundo,$|A\rangle$y$|B\rangle$son estados propios del hamiltoniano libre$H_0$con energia$E$, significado $$\begin{eqnarray} H_0 | A \rangle &=& E | A \rangle \\ H_0 | B \rangle &=& E | B \rangle \end{eqnarray}$$ Por supuesto,$|a \rangle$y$|b\rangle$también son estados propios de$H_0$ $$\begin{eqnarray} H_0 | a \rangle &=& E | a \rangle \\ H_0 | b \rangle &=& E | b \rangle \end{eqnarray}$$
• Tercero,$A\rangle$y$|B\rangle$son estados propios de$H_0 + H_1$, pero ahora con diferentes energías $$\begin{eqnarray} \left(H_0 + H_1\right) | A \rangle &=& \left(E + \delta E_1\right) | A \rangle \\ \left(H_0 + H_1\right) | B \rangle &=& \left(E + \delta E_2\right) | B \rangle \end{eqnarray}$$ Sin embargo ,$|a \rangle$y$| b \rangle$no son estados propios de$H_0 + H_1$, desde $$\begin{eqnarray} \left(H_0 + H_1\right) | a \rangle &=& \gamma_1 \left(E + \delta E_1\right) | A \rangle + \gamma_2 \left(E + \delta E_2\right) | B \rangle \\ \left(H_0 + H_1\right) | b \rangle &=& \lambda_1 \left(E + \delta E_1\right) | A \rangle + \lambda_2 \left(E + \delta E_2\right) | B \rangle \end{eqnarray}$$

Como queremos encontrar estados propios del hamiltoniano completo,$H_0 + H_1$, claramente vamos a querer trabajar con$|A\rangle$y$|B\rangle$en lugar de$|a \rangle$y$|b\rangle$(o cualquiera de los otros infinitos estados que son estados propios de$H_0$con energia$E$). Sin embargo, encontrar$|A\rangle$y$|B\rangle$puede ser complicado.

Encontrar buenos estados

No intentaré dar un algoritmo general para construir los buenos estados (aunque se puede hacer). En cambio, solo señalaré que, a menudo, las degeneraciones en el espectro del hamiltoniano libre surgen porque hay una simetría. La perturbación hamiltoniana tiende a romper las simetrías.

Para ser concretos, supongamos que$H_0$es rotacionalmente simétrica. Esto significa que conmuta con las tres componentes del momento angular,$L_i$, dónde$i=\{x, y, z\}$. Tenemos

$$\begin{equation} [H_0, L_i] = 0 \end{equation}$$ Este es el origen de los estados de etiquetado de Hidrógeno por$|n, \ell, m \rangle$; el$\ell, m$Los números cuánticos son valores propios asociados con$L^2$y$L_z$, respectivamente.

Ahora, normalmente, la perturbación hamiltoniana rompe la simetría, por lo que algunos de los operadores de simetría no conmutarán con$H_1$. Consideremos el efecto Stark, donde agregamos un campo eléctrico en el$z$dirección. Entonces$L_x$y$L_y$no viajará con$H_1$. Como resultado, esperamos estados con diferentes$\ell$valores (el valor propio de$L^2$) para tener diferentes energías: la pérdida de simetría ha levantado la degeneración que estaba presente anteriormente. Sin embargo,$L_z$viaja con$H_1$(dado que el sistema sigue siendo simétrico con respecto a las rotaciones sobre el$z$eje). Esto significa que$L_z$satisface la propiedad

$$\begin{equation} [H_0, L_z] = [H_1, L_z] = 0 \end{equation}$$ Esto significa que podemos diagonalizar simultáneamente el hamiltoniano libre,$H_0$, el hamiltoniano completo,$H_0 + H_1$, y el$z$-componente del operador de momento angular$L_z$. Estados propios de$L_z$son fáciles de encontrar. Y, dado que estos estados son estados propios de ambos$H_0$y$H_0+H_1$, satisfarán todas las propiedades del$|A\rangle$y$|B\rangle$estados dados arriba -- los estados propios de$L_z$son los buenos estados.

En general, si podemos encontrar un operador hermitiano$O$que viaja con$H_0$y$H_1$, entonces estados propios de$O$son buenos estados para la teoría de perturbaciones degeneradas.