A finales de los noventa Bender ha iniciado un programa de investigación sobre lo que se denomina PT QM simétrico, o no hermitiano QM, en el que ha demostrado que si el hamiltoniano goza de una simetría PT entonces el espectro es real aunque el hamiltoniano no fuera hermitiano. Ahora, una búsqueda de "PT simétrico" en arXiv devolverá más de 400 documentos.
Esta relajación de la hermiticidad de los hamiltonianos ha dado lugar a nuevas formas de hamiltonianos que antes se habían rechazado por no ser hermíticos. Resulta que tales hamiltonianos simétricos PT pueden describir sistemas físicos reales.
Dado que este QM simétrico de PT no puede considerarse una generalización de la mecánica cuántica convencional, supongo, en la que los observables se representan matemáticamente mediante operadores hermitianos, me parece intrigante que algo como esto pueda describir sistemas físicos reales. Entonces, ¿cómo se puede entender PT QM simétrico desde los primeros principios? Quiero decir, ¿cómo encaja en el panorama general, por qué funciona?
Citando a Ali Mostafazadeh en arXiv:quant-ph/0307059 :
También se puede demostrar que siempre que es un operador diagonalizable con un espectro real, entonces se puede asignar a un operador hermitiano a través de una transformación de similitud.
los Los operadores simétricos son de este tipo.
Aunque no lo he leído (todavía), arXiv:0810.5643 del mismo autor debería responder a sus preguntas en detalle.
Actualización: hojeando el artículo, encontré el siguiente comentario:
La principal desventaja de emplear la representación hermitiana es que, en general, la hamiltoniana es un operador no local terriblemente complicado. Por lo tanto, el cálculo de los niveles de energía y la descripción de la dinámica se realizan más convenientemente en la representación pseudo-hermitiana. Por el contrario, es la representación hermítica la que facilita el cálculo de los valores esperados de los operadores de posición física y momento, así como de los estados localizados en los espacios de posición física o momento.
Tenga en cuenta que el campo de Klein-Gordon es probablemente un buen ejemplo de esto, cuyo tratamiento en términos de mecánica cuántica clásica es el tema del primer artículo que vinculé.
Es la formulación del QM hamiltoniano en un producto interno no tradicional, en el que ciertos hamiltonianos no hermitianos (en el producto interno estándar) se vuelven autoadjuntos.
Llamarlo una generalización de QM no es apropiado. Tiene muy poco impacto en la mayor parte de la mecánica cuántica y no es nada de interés general, solo un campo de juego teórico para los aficionados.
Para abordar su pregunta y agregar un poco de sabor extra a la respuesta de Christoph, creo que algo como este texto es un buen punto de partida: Mecánica cuántica no hermitiana por Nimrod Moiseyev
Creo que a algunas de las respuestas a esta pregunta también les falta un factor que abordan este libro y otros textos similares.
Desde la perspectiva de la materia condensada, la no Hermicidad puede verse como una consecuencia de describir matemáticamente un sistema abierto o ciertas representaciones de sistemas bosónicos específicos. Los hamiltonianos PT-simétricos son simplemente un caso especial de esto y en algunos ejemplos (de esos 400 resultados arxiv a los que se refiere) contienen descripciones de sistemas donde la consecuencia más importante es la no conservación de algún operador (y por lo tanto la no unitaridad) . Pensar específicamente en la evolución del tiempo ayuda aquí. Si uno considera dividir un hamiltoniano en partes hermitianas y no hermitianas, claramente no hay una contraparte hermitiana de las fases adicionales recogidas por las contribuciones no hermitianas cuando rodean las degeneraciones. Esto se ha demostrado en sistemas fotónicos con componentes absorbentes (fuente) y amplificadores (sumidero), que producen fenómenos que no pueden ser descritos en términos de operadores/física hermítica. (es decir, considere los dos documentos siguientes:arxiv:1508.03985 , arXiv:1603.05312 ) Puede encontrar una buena docena de ejemplos de esto en arXiv.
Tienes toda la razón al pensar que PT QM simétrico no es una generalización de QM, es complementario por derecho propio.
Mi experiencia se basa en hamiltonianos pseudo hermitianos, que son reducibles a uno hermitiano, pero terminan siendo hamiltonianos complicados que generalmente no son interpretables desde el punto de vista de la física.
Los hamiltonianos hermitianos son más físicos en el sentido de reciprocidad de la interacción; la interacción de 2 en 1 es también la interacción de 1 en 2.
Las matemáticas de la física cuántica pseudo hermítica no son nuevas en absoluto; se reduce a un formalismo de Sturm Liouville que es una generalización natural de Schrödinger.
Por lo tanto, creo que los trabajadores de este campo tienen una gran lucha por delante para hacer que todo esto sea realmente útil o novedoso.
Revo
Arnold Neumaier
Revo
Arnold Neumaier
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