Teoría de la perturbación en el oscilador armónico cuántico [cerrado]

Question

Teoría de la perturbación en el oscilador armónico cuántico [cerrado]

tobyhas

Esta pregunta se refiere al oscilador armónico cuántico:

(a) Exprese el operador $\hat B = \hat x \hat p + \hat p \hat x + \hbar$ en términos de $\hat a_{\pm}$ y $\hbar$

(b) Escriba la representación matricial para $\hat B$ , truncado a un $4 \times 4$ matriz utilizando estados propios hasta e incluyendo $n=3$

(c) Una perturbación de $\gamma \hat B$ se aplica a un QHO, donde $\gamma$ es una pequeña constante. Encuentre la corrección de primer orden para las energías y, por lo tanto, proporcione una condición para $\gamma$ eso hará que la perturbación sea "pequeña".

¿Puede alguien decirme si estoy en el camino correcto (estoy particularmente confundido acerca de la parte (c)):

(a) Volví a expresar como $\hat B = i\hbar+2\hat p \hat x+\hbar=i\hbar + \frac{i\hbar}{2}(\hat a_+-\hat a_-)(\hat a_++\hat a_-)+\hbar$

(b) Calculando $<m|\hat B|n>$ , dónde $m,n$ son estados propios del QHO original, y aplicando acciones de los operadores de subida/bajada, obtuve la matriz:

ℏ (\begin{matrix} 1 & 0 & - i \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - i \sqrt{6} \\ i \sqrt{2} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & i \sqrt{6} & 0 & 1 \end{matrix})

$\hbar\begin{pmatrix}1 & 0 & -i\sqrt2 & 0\\0 & 1 & 0 & -i\sqrt6\\i\sqrt2 & 0 & 1 & 0\\0 & i\sqrt6 & 0 & 1\\\end{pmatrix}$

(c) Habiendo obtenido la matriz anterior (suponiendo que sea correcta), ¿la corrección de primer orden es simplemente $<n|\hat B|n>$ , es decir, los valores por la diagonal? asi seria $\gamma \hbar$ para todos $n$ ? en que condicion $\gamma$ se requiere para que la perturbación sea pequeña?

Respuestas (1)

Teoría de la perturbación en el oscilador armónico cuántico [cerrado]

Héctor · Answer 1

Dado que los valores propios no son degenerados, la corrección al nivel de energía $E_n$ es solo $\langle n | \gamma B | n \rangle$ . Es fácil ver que la corrección $\delta E_n$ es $\gamma \hbar$ para todos $n$ . La corrección es buena si

\frac{d {mi}_{norte}}{{mi}_{norte}} ≪ 1

$\frac{\delta E_n}{E_n}\ll 1$ Eso es

\frac{γ}{ω (norte + \frac{1}{2})} ≪ 1

$\frac{\gamma}{\omega(n+\frac{1}{2})}\ll 1$ Para todos

n

$n$ . Y esto está garantizado si

\frac{γ}{ω} ≪ 1

$\frac{\gamma}{\omega}\ll 1$ (en particular necesitamos

γ / ω \leq 1 / 2

$\gamma/\omega \leq 1/2$ )Porque para

n \geq 1

$n\geq 1$

\frac{γ}{ω (norte + \frac{1}{2})} \leq \frac{γ}{ω} ≪ 1

$\frac{\gamma}{\omega(n+\frac{1}{2})}\leq \frac{\gamma}{\omega}\ll 1$ Y para

n = 0

$n=0$

\frac{2 γ}{ω} ≪ 1

$\frac{2\gamma}{\omega} \ll 1$ Si

γ / ω ≪ 1

$\gamma/\omega \ll 1$ (porque hablamos de al menos un orden de magnitud con el símbolo

≪

$\ll$ ).

podría ampliar un poco sobre cómo se obtiene $\frac{\gamma}{\omega}$ ? El límite inferior de $E_n$ debiera ser $\frac12 \hbar \omega$ ¿No? así que no debería ser $\frac{2\gamma}{\omega}<<1$ ? Aunque sería del mismo orden de magnitud.
si puedes poner $\frac{2\gamma}{\omega}\ll 1$ pero es lo mismo porque con el simbolo $\ll$ hablamos de un factor $10$ al menos.

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tobyhas

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Héctor

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