Perturbaciones en la teoría de la respuesta lineal

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Perturbaciones en la teoría de la respuesta lineal

miggle

He estado trabajando en aplicaciones de la teoría de la respuesta lineal a los sistemas de materia condensada y he avanzado bastante en la literatura sobre el tema. Sin embargo, hay una identidad que parece estar citada en todas partes que tengo problemas para reproducir, y me gustaría entender qué es exactamente lo que me estoy perdiendo. El comunicado es el siguiente:

Supongamos que tenemos un sistema descrito por un hamiltoniano independiente del tiempo $H_{0}$ . Ahora agregamos una perturbación débil y asumimos que es de la forma $f(t)O_{1}$ , dónde $O_{1}$ es un operador que describe la cantidad perturbada. También asumimos que la perturbación se enciende en un tiempo finito $t_{s}$ , es decir, $f(t<t_{s}) = 0$ . Configuración $H(t) = H_{0}+f(t)O_{1}$ , podemos escribir la evolución temporal de un estado $|\psi\rangle$ que es un estado propio de $H_{0}$ :

| ψ (t) ⟩ = T ({mi}^{- i \int_{- \infty}^{t} d t^{'} H (t^{'})}) | ψ ⟩

$|\psi(t)\rangle = T\left(e^{-i\int_{-\infty}^{t}dt'H(t')}\right)|\psi\rangle$

dónde $T$ es un operador de ordenación temporal. A primer orden en $f(t)$ , esto se puede escribir como

| ψ (t) ⟩ \approx {mi}^{- i \int_{- \infty}^{t} d t^{'} H_{0}} | ψ (t) ⟩ - i \int_{- \infty}^{t} d t^{'} F (t^{'}) {mi}^{- i H_{0} (t - t^{'})} O_{1} {mi}^{- i H_{0} (t^{'} - (- \infty))} | ψ ⟩

$|\psi(t)\rangle \approx e^{-i\int_{-\infty}^{t}dt'H_{0}}|\psi(t)\rangle -i\int_{-\infty}^{t}dt'f(t')e^{-iH_{0}(t-t')}O_{1}e^{-iH_{0}(t'-(-\infty))}|\psi\rangle$

Esta es la afirmación que tengo dificultades para verificar. Como no podemos decir nada acerca de cómo $O_{1}$ viaja (o no viaja) con $H$ , he estado atascado por un tiempo. La mayoría de mis intentos fallan en reproducir esta identidad. ¿Alguien tiene alguna sugerencia sobre cómo proceder?

También para aquellos que tienen curiosidad acerca de qué fuentes utilizan este hecho, pueden consultar el libro de Xiao-Gang Wen (Teoría del campo cuántico de los sistemas de muchos cuerpos), Capítulo 2.

Respuestas (1)

Perturbaciones en la teoría de la respuesta lineal

AV23 · Answer 1

Partimos de la ecuación de la evolución temporal:

| ψ (t) ⟩ = T ({mi}^{- i \int_{- \infty}^{t} d t^{'} H (t^{'})}) | ψ ⟩

$|\psi(t)\rangle = T\left(e^{-i\int_{-\infty}^{t}dt'H(t')}\right)|\psi\rangle$

Ahora, necesitamos evaluar la exponencial con el siguiente hamiltoniano:

H (t) = H_{0} + F (t) O_{1}

$H(t) = H_0 + f(t)O_1$ prestando atención al orden del tiempo.

Para hacer esto, por conveniencia, consideremos solo la parte exponencial (ordenada en el tiempo) y expresemos la integral como una suma de Riemann (con el límite asumido implícitamente):

T ({mi}^{- i \sum_{j} Δ t_{j} (H_{0} + F (t_{j}) O_{1})})

$T (e^{-i \sum_{j} \Delta t_j (H_0+f(t_j)O_1)})$

= \prod_{j} {mi}^{- i Δ t_{j} (H_{0} + F (t_{j}) O_{1})}

$= \prod_{j} e^{-i \Delta t_j (H_0+f(t_j)O_1)}$ donde el ordenamiento temporal se asume implícitamente en el producto: actuamos con el menor

j

$j$ factores primero (es decir, a la derecha), luego ir a valores más altos de

j

$j$ . Ahora bien, como la perturbación

f (t_{j}) O_{1}

$f(t_j)O_1$ es débil en todo momento, podemos volver a expresar cada factor exponencial de la siguiente manera (donde despreciamos el conmutador entre

- i Δ t_{j} H_{0}

$-i\Delta t_j H_0$ y

- i Δ t_{j} f (t_{j}) O_{1}

$-i\Delta t_j f(t_j) O_1$ , que es de segundo orden en

Δ t_{j}

$\Delta t_j$ ):

\prod_{j} {mi}^{- i Δ t_{j} H_{0}} (1 - i Δ t_{j} F (t_{j}) O_{1})

$\prod_{j} e^{-i \Delta t_j H_0} ( 1 - i \Delta t_j f(t_j) O_1 )$

= {mi}^{- i \sum_{j} Δ t_{j} H_{0}} - i \sum_{j} Δ t_{j} (\prod_{k \geq j} {mi}^{- i Δ t_{k} H_{0}}) F (t_{j}) O_{1} (\prod_{k < j} {mi}^{- i Δ t_{k} H_{0}})

$= e^{-i \sum_{j} \Delta t_j H_0} - i \sum_{j}\Delta t_j (\prod_{k\geq j} e^{-i \Delta t_k H_0})f(t_j)O_1 (\prod_{k \lt j} e^{-i \Delta t_k H_0})$

= {mi}^{- i \sum_{j} Δ t_{j} H_{0}} - i \sum_{j} Δ t_{j} ({mi}^{- i \sum_{k \geq j} Δ t_{k} H_{0}}) F (t_{j}) O_{1} ({mi}^{- i \sum_{k < j} Δ t_{k} H_{0}})

$= e^{-i \sum_{j} \Delta t_j H_0} - i \sum_{j}\Delta t_j (e^{-i \sum_{k\geq j} \Delta t_k H_0})f(t_j)O_1 (e^{-i \sum_{k\lt j}\Delta t_k H_0})$ donde, en la segunda línea, estamos despreciando términos que van como el cuadrado de

f (t_{j})

$f(t_j)$ o mas alto. Ahora podemos volver a convertir esto en integrales y sustituirlo en la ecuación de la evolución del tiempo:

| ψ (t) ⟩ = ({mi}^{- i \int_{- \infty}^{t} d t^{'} H_{0}} - i \int_{- \infty}^{t} d t^{'} F (t^{'}) {mi}^{- i \int_{t^{'}}^{t} d t^{″} H_{0}} O_{1} {mi}^{- i \int_{- \infty}^{t^{'}} d t^{″} H_{0}}) | ψ ⟩

$|\psi(t)\rangle = \left( e^{-i\int_{-\infty}^{t}dt'H_{0}}-i\int_{-\infty}^{t}dt'f(t')e^{-i\int_{t'}^{t} dt'' H_0}O_{1}e^{-i\int_{-\infty}^{t'}dt'' H_{0}} \right) |\psi\rangle$

⟹ | ψ (t) ⟩ = ({mi}^{- i \int_{- \infty}^{t} d t^{'} H_{0}} - i \int_{- \infty}^{t} d t^{'} F (t^{'}) {mi}^{- i H_{0} (t - t^{'})} O_{1} {mi}^{- i H_{0} (t^{'} - (- \infty))}) | ψ ⟩

$\implies |\psi(t)\rangle = \left( e^{-i\int_{-\infty}^{t}dt'H_{0}} -i\int_{-\infty}^{t}dt'f(t')e^{-iH_{0}(t-t')}O_{1}e^{-iH_{0}(t'-(-\infty))} \right) |\psi\rangle$ Esta es la expresión requerida. En el último paso, reemplazamos las integrales de

H_{0}

$H_0$ en el segundo término con productos simples de

H_{0}

$H_0$ con el intervalo de tiempo. Esto es posible porque

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ es un estado propio de

H_{0}

$H_0$ , y el efecto de este reemplazo es solo de primer orden en

f (t) O_{1}

$f(t)O_1$ , lo que lo convierte en una corrección de segundo orden para

| ψ (t) ⟩

$|\psi(t)\rangle$ . Obsérvese que es por el orden del tiempo que no necesitábamos preocuparnos por el conmutador de

O_{1}

$O_1$ con

H

$H$ en los pasos posteriores.

Muchas gracias, estas notas son muy útiles. Todavía estoy un poco confundido por la primera línea después de la oración "podemos volver a expresar cada factor exponencial de la siguiente manera:". Mi confusión es que pareces estar factorizando exponenciales, es decir, diciendo e^{A+B} = e^{A}e^{B}, pero eso no es cierto en general. ¿No debería haber también un término proporcional al conmutador que aparece, ya que todavía es de primer orden en f? ¿Hay alguna razón por la que el orden del tiempo nos diga que no tenemos que preocuparnos por esto? ¡Gracias de nuevo!
Aquí estamos viendo e^{(dt)(A+B)} = e^{(dt)A + (dt)B}. El conmutador involucrado es entonces de [(dt)A, (dt)B] = (dt)^2[A, B], que es de segundo orden en (dt) y, por lo tanto, puede despreciarse en comparación con los términos lineales en (dt ), ya que estamos tomando el límite dt -> 0. La ordenación temporal conduce a la expresión final derivada y evita tener que considerar el conmutador también en los términos lineales.

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