Perturbación de segundo orden de un sistema degenerado sin corrección de primer orden

Question

Perturbación de segundo orden de un sistema degenerado sin corrección de primer orden

Andrea

Considere el siguiente hamiltoniano, en unidades arbitrarias:

H = [\begin{matrix} 0 & 0 & gramo \\ 0 & 0 & gramo \\ gramo & gramo & 1 \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix} 0 & 0 & g\\ 0 & 0 & g\\ g & g & 1 \end{bmatrix}$

dónde $g<<1$ . Es relativamente sencillo encontrar el espectro de este hamiltoniano analíticamente. Simplemente resuelva la ecuación característica y encuentre que los tres valores propios de esta matriz son:

\begin{aligned} ϵ_{1} & = \frac{1}{2} (1 - \sqrt{1 + 8 {gramo}^{2}}) \approx - 4 {gramo}^{2} \\ ϵ_{2} & = 0 \\ ϵ_{3} & = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{1 + 8 {gramo}^{2}}) \approx 1 + 4 {gramo}^{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} \epsilon_1 &= \frac{1}{2}\left(1 - \sqrt{1+8g^2}\right) \approx-4g^2 \\ \epsilon_2 &= 0 \\ \epsilon_3 &= \frac{1}{2}\left(1 + \sqrt{1+8g^2}\right) \approx1+4g^2 \end{aligned}$

Me piden calcular el espectro de este hamiltoniano a segundo orden por métodos pertubativos. Entonces dividimos el hamiltoniano en:

H = H_{0} + gramo \tilde{H}

$H = H_0 + g \tilde H$

Pero, por supuesto, nos damos cuenta inmediatamente de que $H_0$ es degenerado.

¿Cómo realizamos la teoría de la perturbación en este hamiltoniano? Las referencias son bienvenidas, pero no serán consideradas respuestas, ya que por el momento no puedo acceder a ellas.

Tenga en cuenta que estoy en casa y la única referencia que tengo sobre el tema es Quantum Mechanics, 5th edition de Alastair Rae . Aquí hay una sección sobre la teoría de perturbaciones para niveles degenerados, pero este enfoque no funciona aquí . Esto se debe a que se basa en encontrar correcciones de primer orden en los niveles de energía, que sabemos que no existen, gracias a nuestra solución analítica.

También he hecho trampa parcialmente, al reconocer que el vector:

v_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}]

$v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} ~~1~ \\ -1~ \\ ~~0~ \end{bmatrix}$

es ambos el vector propio de ambos $H$ y $H_0$ para el valor propio $0$ , pero no me ha ayudado mucho.

Finalmente, soy consciente de que hay una pregunta sobre el mismo hamiltoniano, pero no hay respuesta para ella.

Cosmas Zachos

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Perturbación de segundo orden de un sistema degenerado sin corrección de primer orden

Cosmas Zachos · Answer 1

De hecho, el primer orden establece firmemente la desaparición de las correcciones de energía, pero no especifica completamente las correcciones de la función de onda, y debe continuar con el segundo y el tercer orden para especificar sus incógnitas en sistemas indeterminados. Courant y Hilbert (citados aquí ) describen el procedimiento, pero tal vez no quiera ir allí... De todos modos, los otros dos vectores propios son

v_{1} \propto \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ C \end{matrix}] C = (1 - \sqrt{1 + 8 {gramo}^{2}}) / 2 gramo \approx - 2 gramo, v_{3} \propto [\begin{matrix} gramo \\ gramo \\ b \end{matrix}] b = (1 + \sqrt{1 + 8 {gramo}^{2}}) / 2 \approx 1 + 2 {gramo}^{2}, ⟹ v_{3} \propto [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] + \sqrt{2} gramo v_{1} + O ({gramo}^{2}), . . .

$v_1 \propto \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} ~~1~ \\ 1~ \\ ~~c~ \end{bmatrix} \qquad c=\left (1-\sqrt{1+8g^2}\right )/2g \approx -2g, \\ v_3 \propto \begin{bmatrix} ~~g~ \\ g~ \\ ~~b~ \end{bmatrix} \qquad b=\left (1+\sqrt{1+8g^2}\right )/2 \approx 1+2g^2, \\ \Longrightarrow v_3 \propto \begin{bmatrix} ~~0~ \\ 0~ \\ ~~1~ \end{bmatrix} + \sqrt{2} g v_1 +O(g^2),...$ Los 3 vectores propios son mutuamente ortogonales.

La primera orden especifica el $v_3$ corrección, pero uno no sabe nada sobre la mezcla 1-2, en este orden, por lo que debe pasar al siguiente nivel, para obtenerlos, etc.

En cambio, tu trampa limitada fue suficiente, y todo lo que necesitas es proyectar el $v_2$ subespacio y terminar con un sistema 2×2 trivial no degenerado. Considere la transformación "Foldy-Wouhuysen",

tu = [\begin{matrix} 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} & 0 \\ - 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$U = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0\\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ flexible

{tu}^{†} H tu = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} gramo \\ 0 & \sqrt{2} gramo & 1 \end{matrix}],

$U^\dagger H ~U = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \sqrt{2}g\\ 0 &\sqrt{2} g & 1 \end{bmatrix},$ un sistema equivalente al original, pero ahora con el primer subespacio, su vector propio engañoso, proyectado y no degenerado para arrancar, por lo que el cambio de energía de segundo orden es

E^{(2)} = \pm 2 g^{2}

$E^{(2)}=\pm 2g^2$ según la fórmula aburrida estándar. Los profesionales llaman a esto un problema de 3 escalas: 0,

g^{2}

$g^2$ , y 1, como viste.

como se llega de $v_2$ a la transformación de Foldy-Wouhuysen?
Uno mira el bloque degenerado (1-2 componentes) y lo diagonaliza con el truco derivado $v_2$ y su estado ortogonal.
¡Oh! ¡Lo tengo! Gracias. ¿Cuánta esperanza se puede tener para encontrar uno de los vectores propios de esta manera?
Para una matriz pequeña como esta, encontrar el vector nulo es fácil, así que...

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