Atracción gravitacional entre partículas cuánticas [cerrado]

Para esta respuesta, supondremos la gravedad newtoniana y calcularemos los efectos sobre la partícula 1 a partir de la gravitación de la partícula 2 (que supondremos que es una masa de punto fijo).

Supongamos que tenemos una "partícula en una caja" unidimensional de masa$m$confinado al intervalo$[0,L]$. Los estados propios de energía están etiquetados por$n=1,2,...$y tener energías

$$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$

y funciones de onda

$$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

Supongamos ahora que introducimos una pequeña perturbación en ese sistema, a saber, la atracción gravitatoria de otra partícula de masa$M$en la posición$x_G$, que restringiremos para que quede fuera de la caja para mantener pequeña la perturbación y evitar singularidades. El potencial introducido por esta atracción en la posición$x$es

$$V(x)=-\frac{GmM}{|x-x_G|}$$

Tratamos esto como una perturbación de la función de onda original y procedemos usando la teoría de perturbaciones de primer orden. El cambio en la energía de la$n=2$estado, a primer orden en$GmM$, es

$$\Delta E_2 = \langle\psi_2|V|\psi_2\rangle=\int_0^L -\frac{2GmM}{L}\frac{\sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}{|x-x_G|}dx$$

Esta integral no tiene una expresión elemental para su solución, pero se puede graficar. Por ejemplo, aquí está el cambio de energía en función de la distancia, asumiendo que la partícula atrayente está a la izquierda del cuadro:

En lo anterior, el$y$-el eje está en unidades de$E_0=\frac{2GmM}{L}$. Como puede ver, cuanto más cerca está la partícula atrayente de la caja, más baja la energía de la partícula en la caja.

La corrección de primer orden de la función de onda también se puede calcular utilizando la conocida fórmula

$$\begin{align*} \Delta\psi_2(x) &= \sum_{k\neq 2}\frac{\langle\psi_k|V|\psi_2\rangle}{E_2-E_k}|\psi_k\rangle \\ &= \sum_{k\neq 2}\frac{\int_0^L -\frac{2GmM}{L}\frac{\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right)}{|x-x_G|}}{\frac{(2^2-k^2)\pi^2\hbar^2}{2mL^2}}\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right) \end{align*}$$

Una vez más, no existe una solución de forma cerrada, pero aquí hay una aproximación de la probabilidad de este estado$|\psi_2+\Delta\psi_2|^2$para una partícula con$x_G=-1$,$L=1$, y$GMm=.01$, con el$y$-eje en unidades arbitrarias (donde se han sacado las correcciones para$k=6$):

Como puede ver, es básicamente idéntica a la función de onda original, lo cual es una señal de que hicimos las cosas bien, porque la teoría de la perturbación de primer orden solo es válida para perturbaciones muy pequeñas de la función de onda. Para ver más de cerca lo que ha cambiado, tomemos la relación entre la densidad de probabilidad perturbada y la densidad de probabilidad original.$\frac{|\psi_2+\Delta\psi_2|^2}{|\psi_2|^2}$:

Como puede ver, ahora es ligeramente más probable que la partícula esté en el lado izquierdo de la caja que antes. (Curiosamente, también parece ser más probable estar en los bordes de la caja de cualquier manera, pero mirando la asimetría en esta relación, claramente prefiere estar en el lado izquierdo). Dado que nuestra partícula atrayente está en el lado izquierdo de la caja, esto tiene sentido. Entonces, en general, parece que nuestra distribución de probabilidad se ha desplazado ligeramente hacia la izquierda. Cálculo de la posición media de la partícula, en las unidades anteriores:

$$\langle x\rangle = \frac{ \langle \psi_2+\Delta\psi_2|x|\psi_2+\Delta\psi_2\rangle}{\langle \psi_2+\Delta\psi_2|\psi_2+\Delta\psi_2\rangle} = \frac{\int_0^L (\psi_2+\Delta\psi_2)^2 x dx}{\int_0^L (\psi_2+\Delta\psi_2)^2 dx}\approx 0.499996$$

que está ligeramente a la izquierda de la posición promedio de la partícula no perturbada,$0.5$.