Resultado de bra-kets con múltiples giros

Estoy trabajando en un ejercicio en el que calculo la probabilidad de transición de un sistema que consta de dos partículas de espín 1/2. Este sistema tiene un hamiltoniano

$$\hat{H} = H_z (\hat{S}_{1x}+\hat{S}_{2x})$$ dónde $H_z$es un campo magnético constante en la dirección z y $\hat{S}$es el operador de espín definido como $$S=\frac{\hbar}{2} \sigma_x$$ dónde $\sigma_x$es la matriz de Pauli. Después de calcular las energías propias, los estados propios se pueden escribir como $$\begin{align} | 0,0 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |\uparrow \downarrow + \downarrow \uparrow\rangle \right) \\ | 1,1 \rangle &=| \uparrow \uparrow \,\rangle \\ | 1,0 \rangle &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( |\uparrow \downarrow - \downarrow \uparrow\rangle \right) \\ | 1,-1 \rangle &=| \downarrow \downarrow \,\rangle \end{align}$$ es decir, como combinaciones de giro arriba/abajo. Mi pregunta es: al calcular algunos elementos de la matriz (por ejemplo, en la teoría de perturbaciones), términos como $$W = \dots = \frac{1}{\sqrt{2}} \langle \, \, (\langle \uparrow \downarrow| + \langle\downarrow \uparrow|) \,\, | V | \, \,(|\uparrow\downarrow + |\downarrow\uparrow\rangle) \, \, \rangle = \frac{2}{\sqrt{2}} V (\text{after reducing)}$$ aparecer a menudo. Por supuesto, cosas como $$\begin{align} \langle \uparrow \downarrow|\uparrow \downarrow \rangle &= 1 \\ \langle \uparrow \downarrow|\downarrow \uparrow \rangle &= 0 \end{align}$$ son bastante sencillos. Pero ¿qué pasa con cosas como $$\begin{align} \langle \uparrow \uparrow|\uparrow \downarrow \rangle &= ? \\ \langle \uparrow \uparrow|(\downarrow \uparrow + \uparrow \downarrow)\rangle &= ? \end{align}$$ O, en general: ¿existen reglas sencillas y establecidas para manejar estos sujetadores y kets, tal vez incluso con 3 o más giros, o necesita ser evaluado de forma más individual?