Comprensión de los cálculos de la teoría de perturbaciones degeneradas

Question

Comprensión de los cálculos de la teoría de perturbaciones degeneradas

iron2man

Si empiezo por el hamiltoniano:

\begin{aligned} \hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro R^{2}} \partial_{ϕ}^{2} + gramo d (ϕ) \end{aligned}

$\begin{align} \hat{H} = -\frac{\hbar^{2}}{2mR^{2}} \partial_{\phi}^{2} + g\delta(\phi) \end{align}$

Y mira la parte imperturbable $(g=0)$ , encuentro que la solución general es

\begin{aligned} | ψ ⟩ = A {mi}^{\pm i k ϕ} \end{aligned}

$\begin{align} |\psi\rangle = Ae^{\pm ik \phi} \end{align}$

Normalizando y resolviendo los estados propios y las energías propias para su configuración (es decir, una partícula en un anillo):

\begin{aligned} | ψ_{norte} ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2 π R}} {mi}^{\pm i norte ϕ} \\ {mi}_{norte} & = \frac{{norte}^{2} ℏ^{2}}{2 metro R^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} |\psi_{n}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2\pi R}}e^{\pm in \phi} \\ \mathcal{E}_{n} &=\frac{ n^{2} \hbar^{2}}{2mR^{2}} \end{align}$

Y tenemos $2n+1$ número de degeneraciones indexadas por $n$ dónde $n \in \mathbb{Z}$

Cuando sé mira el estado perturbado $(g \delta(\phi))$ Construyo la matriz:

\begin{aligned} (\begin{matrix} ⟨ k | gramo d (ϕ) | k ⟩ & ⟨ k | gramo d (ϕ) | k^{'} ⟩ \\ ⟨ k^{'} | gramo d (ϕ) | k^{'} ⟩ & ⟨ k^{'} | gramo d (ϕ) | k^{'} ⟩ \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{gramo}{2 π} & \frac{gramo}{2 π} \\ \frac{gramo}{2 π} & \frac{gramo}{2 π} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} \begin{pmatrix} \langle k|g\delta(\phi) |k\rangle & \langle k|g\delta(\phi)|k'\rangle \\ \langle k'|g\delta(\phi)|k'\rangle & \langle k'|g\delta(\phi)|k'\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{g}{2\pi} & \frac{g}{2\pi}\\ \frac{g}{2\pi } & \frac{g}{2\pi } \end{pmatrix} \end{align}$ dónde

k, k^{'}

$k,k'$ son los índices de la matriz.

Tomando el determinante se obtienen los siguientes vectores propios con sus valores propios:

\begin{aligned} | η_{1} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| k ⟩ + | k^{'} ⟩) F o r mi = \frac{gramo}{π} \\ | η_{2} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| k ⟩ - | k^{'} ⟩) F o r mi = 0 \end{aligned}

$\begin{align} |\eta_{1} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |k\rangle + |k'\rangle \right) \qquad \mathrm{for}\ \mathcal{E} = \frac{g}{\pi} \\ |\eta_{2} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |k\rangle - |k'\rangle \right) \qquad \mathrm{for}\ \mathcal{E} = 0 \end{align}$

Así que ahora mi pregunta es realmente, ¿qué hago con esta información para encontrar las energías perturbadas (manteniéndolas en segundo orden) y los autoestados? O lo que es más importante, ¿cuál es la necesidad, por así decirlo, de tener estos vectores propios?

¿Es realmente lo que hice fue resolver las "porciones" perturbadas de los estados? $\eta_{1,2}$ en la base de $k$ y $k'$ y luego puedo usar eso como el ket al resolver las ecuaciones de estado perturbado, es decir:

\begin{aligned} {mi}_{η_{1}}^{(1)} = ⟨ η_{1} | gramo d (ϕ) | k ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} E_{\eta_{1}}^{(1)} =\langle \eta_{1}| g \delta(\phi)|k \rangle \end{align}$

??

Respuestas (1)

Comprensión de los cálculos de la teoría de perturbaciones degeneradas

ZeroTheHero · Answer 1

ZeroTheHero

Los autoestados $\vert\eta_1\rangle$ y $\vert \eta_2\rangle$ ahora conviértete en tu "nueva" base.

Recuerde que el juego es, en última instancia, etiquetar estados usando energía, por lo que buscamos estados propios porque tienen energía definida. La dificultad en la teoría de la perturbación degenerada es encontrar una base "nueva" útil, ya que cualquier combinación de los estados degenerados es también un estado propio del hamiltoniano no perturbado. Al diagonalizar la perturbación de primer orden, selecciona una combinación útil de los estados básicos originales. Por "útil" quiero decir que ahora puedes usar $\vert\eta_1\rangle$ y $\vert \eta_2\rangle$ para continuar con el enfoque normal no degenerado ya que estos "nuevos" estados ahora tienen una energía diferente y (presumiblemente) una diferencia de energía suficiente para aplicar la perturbación habitual usándolos.

iron2man

Ah, ya veo. Estaba tratando de encontrar las palabras adecuadas para describir todo. Gracias por arrojar una nueva luz. Una última pregunta para ampliar aún más esto, cuando dices que puedo usar mi nueva base para la teoría de perturbaciones no degeneradas, entonces puedo continuar con nuestra ecuación de perturbación

E_{n}^{(1)} = ⟨ ψ_{n} | V | ψ_{n} ⟩

$E^{(1)}_{n} = \langle \psi_{n}| V |\psi_{n}\rangle$ (de griffiths) y reemplazar mi nueva base en estas? ¿O realmente estoy evaluando cada energía para cada nueva base (en mi caso):

iron2man

E_{η_{1}, n}^{(1)} = ⟨ η_{1} | V | ψ_{n} ⟩

$E^{(1)}_{\eta_{1},n} = \langle \eta_{1}| V |\psi_{n}\rangle$ y

E_{η_{2}, n}^{(1)} = ⟨ η_{2} | V | ψ_{n} ⟩

$E^{(1)}_{\eta_{2},n} = \langle \eta_{2}| V |\psi_{n}\rangle$

ZeroTheHero

Haces todo en la base "nueva"; es una base original "mejorada" en el sentido de que da cuenta de la perturbación de orden cero y de primer orden, por lo que no es necesario volver a calcular

E_{n}^{(1)}

$E^{(1)}_n$ ya que ya encontró que la corrección de primer orden es

g / π

$g/\pi$ y

0

$0$ (en tu caso). Todos los elementos de la matriz son ahora del tipo

⟨ η_{i} | V | η_{k} ⟩

$\langle \eta_i \vert V \vert \eta_k\rangle$ .

ZeroTheHero

@ Countto10 ¿es esto para mí?

usuario146020

Sí, sus respuestas son excelentes, estudio por mi cuenta, así que realmente valoro una buena respuesta. Conocía los principios, pero como ocurre con la mayoría de los tipos de autoaprendizaje, omito los ejercicios porque no hay exámenes, pero deja muchas lagunas obvias en mi conocimiento.

ZeroTheHero

@ Countto10 ¡Ojalá mis alumnos estuvieran tan agradecidos! ¡Cuidate!

usuario146020

@ZeroTheHero Hah Grandes mentes... Yo mismo seré eliminado en 6/5 horas. Es un gran sitio, pero tengo que tomarme un descanso y estudiar Termodinámica en el libro de papel antiguo (y mucho menos distraído). y el método del bloc de notas, durante el verano. Me reincorporo en septiembre. Si recibe un correo electrónico con AYUDA en el asunto, ese seré yo... Todo lo mejor y gracias por decírmelo.

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usuario146020

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