Teoría de cuerdas - OPE y operadores primarios

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Teoría de cuerdas - OPE y operadores primarios

Física
operadores
teoria de las cuerdas
teoría del campo conforme

jakub konieczny

Primero, un descargo de responsabilidad: soy nuevo en Physics SE, y soy principalmente matemático, no físico. Me disculpo de antemano por la posible mala calidad de la pregunta, cualquiera y gracias por su paciencia.

Actualmente estoy tratando de entender algunos conceptos básicos de la teoría de cuerdas, basados en el guión de D. Tong, disponible en: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html . Estoy muy confundido acerca de la OPE y algunos temas relacionados. (Para la definición, vea el guión mencionado, páginas 69 en adelante; no sé lo suficiente como para saber qué mencionar aquí). Entiendo que varios "operadores" $O(z)$ se supone que deben ser "insertados" en varios puntos $z$ del plano complejo, y se supone que la física subyacente de alguna manera está codificada en las partes singulares de las expresiones $O_1(z) O_2(w)$ con $w \simeq z$ . No me queda muy claro cómo puede ser que las partes singulares de alguna manera parezcan ser lo único que importa, pero esto probablemente sea demasiado filosófico.

Me gustaría una explicación de los llamados operadores primarios (página 76).

En primer lugar, ¿cuál es la intuición detrás de eso? ¿Hay alguna entidad física que representan?

La definición dice que $O(z)$ es primaria , si tiene el OPE con el tensor de tensión $T(z)$ de la forma:

T (z) O (w) = \frac{h}{(z - w)^{2}} O (w) + \frac{\partial O (w)}{z - w} + \dots

$T(z)O(w) ~=~ \frac{h}{(z-w)^2}O(w) + \frac{\partial O(w)}{z-w}+\ldots$

Al mismo tiempo, dice que esto simplemente dice que la OPE termina en el segundo orden, por lo que parecería que siempre ocurre que si la OPE termina en el segundo orden, la OPE tiene esta forma particular. ¿Es este el caso? En particular, parecería que si $O_1(z)$ es primario con $h_1$ y $O_2(z)$ es primario con $h_2$ , entonces $(O_1+O_2)(z)$ tiene el polo de orden como mucho $2$ , pero no tiene OPE de esta forma (¿o me estoy equivocando?).

Vibert

Los operadores primarios son los vectores de mayor peso de las representaciones del grupo conforme (con los pesos correspondientes). Entonces, en la práctica, nunca necesita estudiar operadores no primarios. Si

O_{1}

$O_1$ es un primario con peso

h_{1}

$h_1$ y

O_{2}

$O_2$ con

h_{2}

$h_2$ , entonces

O_{1} + O_{2}

$O_1 + O_2$ no es un operador principal! No se transforma correctamente bajo mapeos conformes.

Aprender es un desastre

Solo estamos interesados en los términos singulares, ya que este tipo de expresiones aparecen generalmente en integrales de bucle (una vez que el espacio-tiempo 2D se mapea en el cilindro, las integrales sobre una porción de espacio se convierten en integrales de contorno en el plan complejo, de ahí el enfoque en las contribuciones singulares) . Además, el OPE se basa en la estructura algebraica de (un número infinito de) operadores en la teoría, D. Tong dice algunas palabras al respecto en las mismas notas. Y como explica Vibert

O_{1} + 0_{2}

$O_1 + 0_2$ es un operador principal solo para

h_{1} = h_{2}

$h_1=h_2$ dándote un OPE bien definido;)

Respuestas (1)

Teoría de cuerdas - OPE y operadores primarios

Los operadores primarios son los vectores de mayor peso de las representaciones del grupo conforme (con los pesos correspondientes). Entonces, en la práctica, nunca necesita estudiar operadores no primarios. Si $O_1$ es un primario con peso $h_1$ y $O_2$ con $h_2$ , entonces $O_1 + O_2$ no es un operador principal! No se transforma correctamente bajo mapeos conformes.
Solo estamos interesados en los términos singulares, ya que este tipo de expresiones aparecen generalmente en integrales de bucle (una vez que el espacio-tiempo 2D se mapea en el cilindro, las integrales sobre una porción de espacio se convierten en integrales de contorno en el plan complejo, de ahí el enfoque en las contribuciones singulares) . Además, el OPE se basa en la estructura algebraica de (un número infinito de) operadores en la teoría, D. Tong dice algunas palabras al respecto en las mismas notas. Y como explica Vibert $O_1 + 0_2$ es un operador principal solo para $h_1=h_2$ dándote un OPE bien definido;)

Motl de Luboš · Answer 1

Si consideras el $T(z)O(0)$ OPE, quiere escribir todos los términos en singular. Primero, puede haber términos singulares que son más singulares que $1/z^2$ . Si están allí, significa que $O(0)$ no es un "campo tensorial". Por ejemplo, $T(z)$ en sí mismo no es un campo tensorial en CFT con $c\neq 0$ porque hay un $c/z^4$ plazo en la OPE.

Sin embargo, incluso si $O(0)$ es un campo tensorial y el $1/z^2$ y $1/z$ son los unicos que aparecen en la OPE, no quiere decir que $O(0)$ es un operador principal. Muy probablemente, no es uno. Lo que el operador principal Ansatz requiere que el término vaya como $1/z^2$ es múltiplo del operador original $O(0)$ , ¡el mismo!

Entonces, el operador principal es un "estado propio" del tensor de tensión-energía, en cierto sentido. La mayoría de las superposiciones generales de operadores primarios no serán operadores primarios. Si trasladas el operador primario a un estado en el espacio de Hilbert por la correspondencia estado-operador, será un estado propio de $L_0$ y el vector de estado más alto (un vector en una representación del álgebra de Virasoro con el valor propio mínimo posible de $L_0$ entre los vectores de la representación). La ausencia de $1/z^3$ y singularidades superiores es equivalente a que el estado correspondiente sea aniquilado por $L_n$ para valores positivos de $n$ ; y luego está la condición extra de "estado propio" bajo $L_0$ , que se puede ver en el coeficiente de la $1/z^2$ término de la OPE.

En cierto sentido, no es natural combinar operadores primarios con diferentes dimensiones $h$ en superposiciones: viola el "análisis dimensional" porque estos operadores tienen las unidades de ${\rm mass}^h$ .

Entonces, ¿qué pasa si tomo $O(0)$ ser $X^\mu(0)$ . Según el libro de Polchinski, la OPE $T(z)X^\mu(0)$ es $\frac{\partial X(0)}{z}$ . ¿Por qué no hay $1/z^2$ ¿término? O en la notación anterior $O(w)$ ?
Estimado @Afriendlyhelper, "hay" un $1/z^2$ pero su coeficiente es cero lo que significa que la dimensión formal de $X^\mu(0)$ es $h=0$ . Sin embargo, no es un operador tensorial completo de dimensión cero porque $X(z)X(0)\sim\ln|z|^2$ que no es una ley de potencia en $z$ .
Gracias por tu respuesta. Me preguntaba porque Polchinski simplemente dice s $T(z)X^\mu(0)$ sin más explicación en el capítulo 2. Entonces, hay un pequeño pero de un argumento (también conocido como h = 0) para ver realmente la OPE, ¿no? ¡Gracias de todos modos!
Estimado Lumo, ¿conoce una introducción suave a CFT más corta que un libro completo donde tales y otros temas relacionados se explican con un poco más de detalle que lo que explica David McMohan en el Capítulo 5 del libro ST demystified? Me gustaría profundizar un poco más en CFT, pero si intentara pedir una presentación gentil aquí, un moderador lo cerraría inmediatamente tan pronto como lo notara, por lo que solo puedo preguntarle en un comentario :-/

Teoría de cuerdas - OPE y operadores primarios

jakub konieczny

Vibert

Aprender es un desastre

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Motl de Luboš

un ayudante amistoso

Motl de Luboš

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