¿La correspondencia operador-estado es un axioma o un teorema?

Depende de tus puntos de vista, supongo. Existe una derivación de la correspondencia operador-estado a partir de la integral de trayectoria, consulte, por ejemplo, las notas de lectura de TASI . Esto es bueno si está bien con la comprensión intuitiva de lo que son los estados y los operadores locales.

Hay un punto de vista más axiomático. Está preguntando cómo sabemos cuál es el espacio de estados de Hilbert en un QFT si no sabemos cuál es el hamiltoniano. En primer lugar, supongamos que existe un estado de vacío único, que es invariante bajo todas las simetrías, llámelo$|0\rangle$. Entonces, como estamos hablando de un QFT, digamos que hay un campo escalar real$\phi(x)$. Entonces podemos comenzar a formar nuevos estados actuando con él en el vacío,

$$\phi(x_1)|0\rangle,\quad \phi(x_1)\phi(x_2)|0\rangle,\quad\ldots$$ Un problema inmediato es que estos estados no son normalizables, ya que digamos que la norma del primer estado es $\langle0|\phi(x)\phi(x)|0\rangle$, que es una función de dos puntos en puntos coincidentes, que está mal definida. (Digamos que en CFT inmediatamente sabe que esto es infinito. También tenga en cuenta que estoy haciendo QFT lorenziano normal aquí, no cuantización radial).

Para solucionar este problema, se consideran estados

$$\int d^dx_1 f(x_1)\phi(x_1)|0\rangle,\quad \int d^dx_1 d^dx_2 f(x_1,x_2)\phi(x_1)\phi(x_2)|0\rangle,\quad\ldots$$ donde $f$son funciones de prueba de Schwartz. Estos estados tienen normas finitas (este es uno de los axiomas de Wightman, se puede verificar explícitamente, por ejemplo, en funciones CFT de dos y tres puntos). Luego se define el "sector de superselección" de vacío. $\mathcal{H}_0$ser el espacio de estados de Hilbert que se puede crear de esta manera (obsérvese que no todos son linealmente independientes; sus productos internos se calculan mediante funciones de correlación). Uno puede tomar esto como el espacio de estados de Hilbert si uno está interesado solo en las funciones de correlación de los operadores locales. Si hay operadores no locales, entonces puede haber otros sectores, esto depende en gran medida de cómo defina su teoría.

En lo anterior usamos solo$\phi$y esta será una teoría de un campo escalar real, más generalmente puede usar cualquier operador local que tenga para crear nuevos estados. Sin embargo, es importante que no necesite todos los operadores locales para crear todos los estados, ya que puede actuar con un operador varias veces.

Esto define el espacio de estados. La definición del espacio de los operadores locales es un poco complicada. En particular, necesita una noción de completitud para el conjunto de operadores locales. Creo que el requisito correcto es que su conjunto contenga los operadores que usó para definir los estados (por ejemplo,$\phi$en el ejemplo anterior), y que se cierra bajo una expansión OPE asintótica . Con esta definición, puede probar en CFT que estas expansiones de OPE realmente convergen en el vacío y, por lo tanto, todos los estados anteriores pueden ser reducidos por OPE a estados creados por un solo operador local de su conjunto completo. Esto le permite probar la correspondencia operador-estado a partir de los axiomas de Wightman+OPE asintótico.