Contracciones dobles de OPE entre TTT y eikXeikXe^{ikX}

Las contracciones vienen dadas por:

$$:A::B:=\exp{\int -\frac{\alpha'}{2}\eta^{\mu\nu}\ln |z_1-z_2|^2\,\delta_{X^{\mu}(z_1,\bar{z}_1)}^{(A)}\delta^{(B)}_{X^{\nu}(z_2,\bar{z}_2)}} :AB:$$

En el caso de que$B=e^{ikX(z,z)}$tenga en cuenta que$B$es un eigenfuncional de$\delta^{B}_{X^{\nu}(z_2,\bar{z}_2)}$:

$$\delta^{B}_{X^{\nu}(z_2,\bar{z}_2)}e^{ikX(z,z)}=ik_{\nu}\delta^2(z-z_2)e^{ikX(z,\bar{z})}$$

así que solo tenemos que hacer$\delta^{B}_{X^{\nu}(z_2,\bar{z}_2)}\rightarrow ik_{\nu}\delta^2(z-z_2)$, conseguir

$$:A::e^{ikX(z,\bar{z})}:=\exp{\int -\frac{\alpha'}{2}\eta^{\mu\nu}\ln |z_1-z_2|^2\,\delta_{X^{\mu}(z_1,\bar{z}_1)}^{(A)}(ik_{\nu}\delta^2(z-z_2)}) :Ae^{ikX(z,\bar{z})}:$$

y entonces la contracción será justo en$A$, haciendo

$$X(z',\bar{z}')^{\mu}\rightarrow \frac{\alpha'}{2}ik^{\mu}\ln|z'-z|^2$$

en tu caso donde$A=\partial X(z,\bar{z}).\partial X(z,\bar{z})$tenemos$2$formas de contratar sólo uno de los$X$'s y sólo una forma de contratar tanto el$X$'s

TL; DR: No, el orden de realizar la doble contracción$^1$debe moderarse, es decir, solo se debe contar el número de pares de contracciones dobles.

Sugerencia: para no cometer errores combinatorios, es posible que desee considerar primero un monomio en lugar del operador exponencial/vértice completo. Por ejemplo$^2$

$${\cal R}( :X(z)^n::X(w)^m:)$$ lleva a $$n (n-1) \times m (m-1) \times \frac{1}{2!} \text{ double contractions},$$ Etcétera.

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$^1$Nota para el lector: en la normalización de Tong, cada contracción viene con un factor$\frac{\alpha^{\prime}}{2}$, cf. 2a última fórmula en p. 80.

$^2$Aquí${\cal R}$denota el orden radial a menudo implícitamente escrito. El cálculo OPE consiste en evaluar un teorema de Wick anidado entre ordenación radial${\cal R}$y pedidos normales$::$, cf. mi respuesta Phys.SE aquí .