Teorema espectral: matrices vs operadores

¿Significan que M tiene una representación diagonal, como arriba, y que, utilizando la base especificada, la representación matricial de M es una matriz diagonal?

Ha respondido a su propia pregunta exactamente bien. También está implícito en la definición de la matriz: la matriz diagonal de valores propios es claramente la matriz del operador en el marco diagonalizante y el conjugado hermitiano de la matriz normalizada de vectores propios escrita como columnas es la transformación que asigna las coordenadas iniciales a las coordenadas en el marco diagonalizado. .

Quizás sería útil recordar algunas de las propiedades básicas de las bases ortogonales. Supongamos para este propósito el$\{|i\rangle\}$representa una base ortogonal de un espacio vectorial$V$. Además de la condición de ortogonalidad

$$\langle j|i\rangle=\delta_{ij} ,$$ también tenemos la condición de completitud $$\sum_i |i\rangle\langle i| = {\cal I} ,$$ que puede servir como una forma de resolver el operador de identidad ${\cal I}$.

Lo importante a tener en cuenta es que esta no es la única base ortogonal que se puede definir para este espacio vectorial. De hecho, cualquier operación unitaria convertiría esta base en una nueva base,

$$U|i\rangle = |m\rangle$$ y es un ejercicio simple mostrar que esta nueva base también obedecerá a condiciones similares de ortogonalidad y completitud.

Consideremos ahora este caso de un operador que es diagonal en nuestra base inicial. Esto significa que podemos escribir este operador como

$$A = \sum_i |i\rangle\lambda_i\langle i| .$$ ¿Qué pasaría si convertimos esta expresión a la nueva base? $\{|m\rangle\}$?

Para hacer esto, operamos en ambos lados de$A$con la identidad resuelta en términos de la nueva base (que alternativamente denotaremos por$|m\rangle$o$|n\rangle$). Mira qué pasa

$$\begin{align} {\cal I}A{\cal I} &= \sum_{mni} |m\rangle\langle m|i\rangle\lambda_i\langle i|n\rangle\langle n| \\ &= \sum_{mni} |m\rangle U_{mi} \lambda_i {U^{\dagger}}_{in}\langle n| \\ &= \sum_{mn} |m\rangle B_{mn} \langle n|\,.\end{align}$$ Es de esperar que sea claro ver que la matriz $$B_{mn} = \sum_i U_{mi} \lambda_i {U^{\dagger}}_{in}$$ en general no sería una matriz diagonal. En factor, el lado derecho $UDU^{\dagger}$(dónde $D$representan una matriz diagonal) es la descomposición espectral de alguna matriz.

Esto también implica que si se realizara este proceso a la inversa, se comenzaría con una matriz no diagonal y luego se convertiría en una matriz diagonal mediante una elección adecuada de la base. Veamos cómo funciona eso. Supongamos que me dan una matriz normal$M$, expresado en alguna base arbitraria$\{|a\rangle\}$. (Estoy usando deliberadamente diferentes símbolos aquí para evitar confusiones con lo que teníamos antes). De acuerdo con el teorema espectral, ahora se puede expresar esto como

$$M = U D U^{\dagger} ,$$ dónde $U$es una matriz unitaria y $D$es una matriz diagonal. Tenga en cuenta que $M$todavía se define en términos de la base $\{|a\rangle\}$en el que no es diagonal. Sin embargo, podemos eliminar las matrices unitarias operando en ambos lados de la siguiente manera $$U^{\dagger} M U = U^{\dagger} U D U^{\dagger} U = D .$$ Por lo tanto, terminamos con solo la matriz diagonal. En el proceso hemos redefinido la base en la que se expresa la matriz. Esta redefinición se produce a través de la matriz unitaria: $|a\rangle U = |i\rangle$y $U^{\dagger} \langle a| = \langle i|$. Por lo tanto, la matriz unitaria que se necesita para diagonalizar la matriz, también convierte la base en la especial en la que la matriz se vuelve diagonal.

Veamos las preguntas explícitas:

"¿Qué significa que un operador sea diagonal con respecto a una base?"

Significa que en esta base particular el operador (expresado como una matriz), uno tiene elementos distintos de cero en la diagonal solamente y estos elementos representan los valores propios de la matriz. Todos los demás elementos de la matriz son cero. La frase "con respecto a una base" significa que las filas (y columnas) de la matriz están asociadas con un elemento particular en esa base.

"¿Quieren decir que$M$tiene una representación diagonal, como arriba, y, usando la base especificada, la representación matricial de$M$es una matriz diagonal?"

Sí, en efecto, siempre que$M$es una matriz normal, siempre tiene una representación diagonal. (Esto es lo que establece el Teorema Espectral.)

Entonces, ¿la representación matricial de$A$escribir la base$\{|0\rangle,...,|n\rangle\}$simplemente diagnostique$\{\lambda_0,...,\lambda_n\}$?"

Bueno, siempre que esta base sea la base en la que$A$es diagonal, entonces sí, la matriz diagonal contiene los valores propios en la diagonal.