Representación de operadores en mecánica cuántica

Si el espacio de Hilbert del sistema en cuestión es de dimensión finita, entonces, en una base dada para el espacio de Hilbert, el hamiltoniano (y todos los demás observables), estará representado por una matriz.

Si el espacio de Hilbert es de dimensión infinita, la situación es un poco diferente. En Mecánica Cuántica, generalmente asumimos que los espacios de Hilbert con los que tratamos son separables , lo que significa que admiten una base ortonormal contable. La representación del hamiltoniano en cualquier base de este tipo será una "matriz" que es "de dimensión infinita".

Considere, por ejemplo, el oscilador armónico cuántico. Dejar$B = \{|n\rangle\}$denote la base propia de energía donde$|n\rangle$es el vector propio de energía con valor propio$E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar\omega$, entonces el hamiltoniano en esta base queda de la siguiente manera:

$$\begin{align} [\hat H]_B = \begin{pmatrix} E_0 & & & \\ & E_1 & & \\ & & E_2 & \\ & & & \ddots\\ \end{pmatrix} \end{align}$$ Además, el operador de cantidad de movimiento también se representa como una matriz "de dimensión infinita" en esta base. Recuerde que el operador de cantidad de movimiento se puede escribir en términos de operadores de creación y aniquilación de la siguiente manera: $$\begin{align} \hat p = i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a^\dagger - \hat a) \end{align}$$ lo que da $$\begin{align} \langle m|\hat p|n\rangle &= i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\sqrt{n+1}\langle m|n+1\rangle - \sqrt{n}\langle m|n-1\rangle) \\ &= i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\sqrt{n+1}\delta_{m,n+1} - \sqrt{n}\delta_{m,n-1}) \end{align}$$ y, por lo tanto, podemos escribir fácilmente las primeras entradas del operador de cantidad de movimiento escritas en la base propia de energía: $$\begin{align} [\hat p]_B = i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}\left( \begin{array}{ccccc} 0 & -1 & & & \\ 1 & 0 & -\sqrt{2} & & \\ & \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{3} & \\ & & \sqrt{3} & 0 & \ddots \\ & & & \ddots & \ddots \\ \end{array} \right) \end{align}$$ Por otro lado, cada estado en el espacio de Hilbert se puede escribir en la llamada posición $\{|x\rangle\}$y el impulso $\{|p\rangle\}$"bases". Estrictamente hablando, estas no son bases del espacio de Hilbert, pero funcionan de la misma manera en el sentido de que un estado dado puede escribirse como una integral sobre estos elementos de base "continuos" en lugar de sumas sobre bases "discretas"; $$\begin{align} |\psi\rangle &= \int_{\mathbb R}dx\psi(x)|x\rangle, \\ |\psi\rangle &= \int_{\mathbb R}dp\tilde\psi(p)|p\rangle \end{align}$$ En esta notación, cada estado físico corresponde a una función cuadrada integrable $\psi$en la base de posición y $\tilde\psi$en la base del impulso. Es en estas "bases" que los diversos observables se representan mediante operadores de multiplicación/diferenciales en un espacio funcional. En particular, por ejemplo, el operador de cantidad de movimiento se representa de la siguiente manera: $$\begin{align} (\hat p\psi)(x) &= \langle x|\hat p|\psi\rangle = \frac{\hbar}{i}\frac{d\psi}{dx}(x) \\ (\hat p\tilde\psi)(p) &= \langle p|\hat p|\psi\rangle = p\tilde \psi(p). \end{align}$$ En resumen, la representación de los observables, ya sean representaciones matriciales o de operadores diferenciales, depende de la base en la que decidas representarlos.