¿Por qué las puertas lógicas cuánticas deben ser operadores lineales?

Supongamos que elige un estado$|\psi_i\rangle$al azar con probabilidad$p_i$y enviarlo a través de una puerta lógica denotada por$G$. Este estado aleatorio se escribe como una matriz de densidad$\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\!\langle\psi_i|$. Denotar$G(|\psi_i\rangle\!\langle\psi_i|)$como resultado de aplicar$G$a un estado en particular.

Ahora si la entrada es$|\psi_i\rangle\!\langle\psi_i|$con probabilidad$p_i$, entonces la salida es$G(|\psi_i\rangle\!\langle\psi_i|)$también con probabilidad$p_i$. Por lo tanto, el estado de salida debe ser$\sum_i p_i G(|\psi_i\rangle\!\langle\psi_i|)$y por lo tanto

Los operadores lineales que son unitarios conservan la probabilidad. Perder tal conservación hace que el cálculo con la mecánica cuántica no tenga sentido.