Superposición en Mecánica Cuántica

Tuve los mismos problemas conceptuales que tienes cuando estudiaba QM. Permítanme rociar un poco de filosofía que me permitió finalmente seguir adelante y concentrarme en las cosas matemáticas que realmente importan :)

Los estados cuánticos son rayos en el espacio de Hilbert (o puntos en el espacio proyectivo de Hilbert, etc.). Todos los estados tienen el mismo significado físico: todos existen y ninguno de ellos es especial de ninguna manera.

La información observable está codificada en la estructura de producto de Hilbert definida en el espacio de estados. De hecho, la única pregunta razonable que uno podría hacer sobre cierto sistema cuántico es de la siguiente forma:

¿Cuál es el choque (módulo-cuadrado del producto interior)$\left|\left<a|b\right>\right|^2$de dos estados dados$\left|a\right>$y$\left|b\right>$¿igual a?

Pero los estados son bestias bastante abstractas, y sin una forma precisa en la que podamos identificar los estados con experiencias reales (o configuraciones experimentales, etc.) no habrá ningún significado en ninguno de esos cálculos.

Aquí es donde entran los observables, que en QM están codificados por operadores autoadjuntos. A cada uno de estos operadores podemos asignar un espectro de valores propios y estados propios.

Voy a usar la imagen de Heisenberg aquí, así que estos operadores cambian con el tiempo. Por lo tanto, un operador en el momento$t _1$no es lo mismo que un operador correspondiente a la misma cantidad en el tiempo$t _2 > t _1$.

Entonces podemos hacer una pregunta física, que es:

Sé con certeza que mi partícula tenía coordenadas$x = x_1$en el momento$t = t _1$. En QM significa que sé con seguridad que el sistema está en tal estado$\left|a\right>$que es un estado propio del operador de posición en el momento$t _1$con el valor propio correspondiente:

$$\hat{x}(t _1) \left| a \right> = x _1 \left| a \right>.$$ ¿Qué posibles resultados podría experimentar al medir la posición de la partícula en el tiempo $t _2$?

Y QM tiene una respuesta elegante a esta pregunta. Dado que el sistema está en estado$\left| a \right>$que en general no es un estado propio del nuevo operador de posición$x (t _2)$, debo expandirlo en términos de tales estados propios:

Si los estados están correctamente normalizados (recuerde que los estados reales son rayos en lugar de vectores en el espacio de Hilbert), entonces los choques vienen dados por el módulo al cuadrado de los coeficientes correspondientes:

Algunas personas se sienten tentadas a buscar un significado más agradable metafísicamente a estos enfrentamientos. De acuerdo con la regla de Born (que por cierto no tiene nada que ver con Jason Bourne), podríamos interpretar este choque como una probabilidad de experimentar el estado$\left| b \right>$en alguna próxima medida dado que partimos de$\left| a \right>$.

Para resumir: todos los estados juegan el mismo papel en QM, es decir: simplemente existen. Pero, en última instancia, estamos interesados ​​en las formas de etiquetar los estados (o, de lo contrario, ¿cómo podríamos distinguirlos y atribuirles un significado físico?). Esto se hace a través de estados propios de operadores autoadheridos.

Pero los operadores evolucionan con el tiempo. Por lo tanto, si tenemos, por ejemplo, un estado que es un estado propio de algún operador en el momento$t _1$, es una superposición de (diferentes) estados propios de (diferentes) operadores correspondientes a la misma cantidad pero en el tiempo$t _2$.

Las expansiones de estados sobre la base se realizan cuando estamos midiendo alguna cantidad. Esta base no es en absoluto arbitraria y consiste en estados propios del operador autoadjunto correspondiente a esta cantidad.

Esto da una formulación un poco más general de la respuesta de Hindsight. La interpretación más directa de las superposiciones en Mecánica Cuántica suele darse en el contexto de las bases ortogonales , que ya implican más estructura que las bases de Hamel mencionadas en los comentarios. Para simplificar las cosas, supongamos una base contable$\{ | u_n \rangle \}_n$como lo hiciste, y requiere además que sea ortonormal,$\langle u_n | u_m \rangle = \delta_{nm}$. también deja$\hat{ O }$ser algún observable que tenga la$| u_n \rangle$-s como estados propios, tales que sus valores propios son$\langle u_n | \hat{ O } | u_n \rangle$. La descomposición de un estado normalizado$| \psi \rangle$como una superposición (única)

con$c_n$números complejos, significa que una medida de$\hat{ O }$en$| \psi \rangle$producirá un valor de salida$\langle u_n | \hat{ O } | u_n \rangle$y un estado de salida$| u_n \rangle$con una amplitud$c_n$y una probabilidad$|c_n|^2$. Por tales motivos se dice en general que el coeficiente$c_n$es la amplitud de estado$| u_n \rangle$en estado$| \psi \rangle$, y que hay una probabilidad finita$|c_n|^2$para medir el estado$| u_n \rangle$en estado$| \psi \rangle$.

Luego, el concepto se extiende a amplitudes arbitrarias.$\langle \phi | \psi \rangle$para estados normalizados$| \phi \rangle$, ya que dada tal$| \phi \rangle$siempre es posible construir una base ortogonal que lo contenga.