Estoy leyendo Quantum Mechanics Vol. 1 de Cohen-Tannoudji. 1 . En el problema 11 del Capítulo II hay dos operadores dados definidos en un espacio generado por :
El problema es demostrar que estos conmutan. Es fácil demostrarlo con la multiplicación de matrices. Pero, surge mi pregunta debido a la solución dada en el libro, dice lo siguiente:
" es un vector propio común a H y B. Por lo tanto, obviamente tenemos Vemos, entonces, que para y para conmutar, es suficiente que las restricciones de estos operadores al subespacio , atravesado por y , desplazarse. Ahora, en este subespacio, la matriz que representa a H es igual a (dónde es el matriz unitaria), que conmuta con todos matrices. y por lo tanto conmutar".
Necesito una explicación de esta respuesta. ¿Qué es la restricción de un operador y por qué es suficiente mostrar que y conmutar si sus restricciones en el espacio ¿desplazarse?
El espacio generado por y es sí mismo, ya que son linealmente independientes. Considere un subespacio de , como Por ejemplo. Podemos preguntarnos cómo un operador definido en todo el espacio actúa únicamente sobre este subespacio, y para eso basta con ignorar todo lo que hace fuera de nuestro subespacio. En tu caso queremos olvidarnos de lo que hace el operador en el subespacio generado por , que sabemos que es un vector propio de ambos y , por lo que nos enfocamos en el subespacio complementario a este, que es el plano generado por y . Por lo tanto, estamos restringiendo la acción de y a un subespacio. En este subespacio vemos, al olvidarnos de la primera línea y columna de y , eso viaja con . Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que y conmutan en un plano y el subespacio unidimensional complementario a él es generado por un vector propio común: por lo tanto, conmutan en el todo .