Operadores de proyección en un espacio de producto directo

Question

Operadores de proyección en un espacio de producto directo

Lachy

Las cosas que estoy bastante seguro de entender: digamos que tengo un hamiltoniano de una sola partícula $H$ representado por un $2$ X $2$ matriz, por lo que tiene dos estados propios $|\lambda_1\rangle$ y $|\lambda_2\rangle$ . Puedo definir dos proyectores en estos estados $P_1=|\lambda_1\rangle\langle\lambda_1|$ y $P_2=|\lambda_2\rangle\langle\lambda_2|$ . Ahora, si observamos un sistema de 2 partículas, el hamiltoniano de la partícula 1 en el espacio del producto directo es $H_1=H\otimes I$ y el hamiltoniano de la partícula 2 es $H_2=I\otimes H$ . Si entiendo correctamente, el nuevo espacio se abarca, por ejemplo, en los siguientes 4 estados: $|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ , para $i,j=1,2$ . $H_1$ tendrá 4 vectores propios que corresponden a los estados propios de energía $H_1|n\rangle=E_n|n\rangle$ de la partícula 1 en el sistema de dos partículas. Entonces puedo construir 4 proyectores en estos estados que se definen de manera similar a la anterior, y los llamaré $P'_n$ para $n=1,2,3,4$ .

La pregunta: quiero mostrar que, para un estado arbitrario en el espacio vectorial de dos partículas, $P'_nf(E_n)|\psi\rangle=P'_nf(H_1)|\psi\rangle$ dónde $f(E_n)$ es alguna función de los valores propios del hamiltoniano y $|\psi\rangle$ . Sé cómo hacer esto para un sistema de una partícula, pero todavía no tengo intuición para los productos directos y no puedo encontrar la manera de reconciliar el hecho de que $H$ tiene 2 estados pero $H_1$ tiene 4 en un intento de expresar $P'_n$ en términos de $P_1$ y $P_2$ . Puedo expandirme en términos de la base de dos partículas $|\psi\rangle=\sum_{i,j}c_ib_j|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ . Luego aplique el proyector $|n\rangle\langle n|$ pero en este punto me quedo sin ideas. ¿Hay alguna manera de escribir las funciones propias de $H_1$ en términos de las funciones propias de $H$ ?

Selene Routley

solo un punto rápido:

| ψ ⟩ = \sum_{i, j} c_{i} b_{j} | λ_{i} ⟩ \otimes | λ_{j} ⟩

$|\psi\rangle=\sum_{i,j}c_ib_j|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ no es un estado arbitrario, sino que es el caso especial de un estado factorizable o desenredado . Los coeficientes aquí son el producto de Kronecker de los vectores columna

c

$c$ y

b

$b$ y está totalmente definido por

2 N

$2 N$ valores complejos en el vector columna. Un estado general, enredado tiene

| ψ ⟩ = \sum_{i, j} C_{i j} | λ_{i} ⟩ \otimes | λ_{j} ⟩

$|\psi\rangle=\sum_{i,j}C_{i\,j}|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ , es decir, no puedes dividir el

N^{2}

$N^2$ coeficientes independientes en algo de la forma

b \otimes c

$b\otimes c$ .

Lachy

Gracias por señalar esto, no he estudiado el entrelazamiento antes, así que es bueno ver lo que significa en su gloria matemática.

usuario10851

Este es un error común en la terminología: el producto directo

\times

$\times$ es más parecido a la suma directa

\oplus

$\oplus$ ; lo que tienes es el producto tensorial

\otimes

$\otimes$ . Una diferencia importante es que

\dim (A \oplus B) = \dim (A) + \dim (B)

$\dim(A\oplus B)=\dim(A)+\dim(B)$ , mientras

\dim (A \otimes B) = \dim (A) \dim (B)

$\dim(A\otimes B)=\dim(A)\dim(B)$ . Desafortunadamente

2 + 2 = 2 \cdot 2

$2+2=2\cdot2$ , por lo que es más fácil confundirse en este caso particular.

Lachy

Bien, entonces, ¿con qué estoy tratando realmente aquí: un "espacio de producto tensorial" o un "espacio de suma directa"? Supongo que es el espacio del producto tensorial ya que

H = H_{1} \otimes H_{2}

$\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$ y en este caso tiene sentido pensar en

dim (H) = dim (H_{1}) dim (H_{2})

$\text{dim}(\mathcal{H})=\text{dim}(\mathcal{H}_1)\text{dim}(\mathcal{H}_2)$ (de la analogía con el caso de spin-1/2 con dos partículas, donde pensamos en los 4 estados resultantes como pares ordenados de spin-ups y spin-downs). Pero la suma directa entra en escena cuando pensamos en el hamiltoniano "total".

H = H_{1} \oplus H_{2}

$H=H_1\oplus H_2$ , así que me gustaría estar seguro.

Respuestas (1)

Operadores de proyección en un espacio de producto directo

solo un punto rápido: $|\psi\rangle=\sum_{i,j}c_ib_j|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ no es un estado arbitrario, sino que es el caso especial de un estado factorizable o desenredado . Los coeficientes aquí son el producto de Kronecker de los vectores columna $c$ y $b$ y está totalmente definido por $2 N$ valores complejos en el vector columna. Un estado general, enredado tiene $|\psi\rangle=\sum_{i,j}C_{i\,j}|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ , es decir, no puedes dividir el $N^2$ coeficientes independientes en algo de la forma $b\otimes c$ .
Gracias por señalar esto, no he estudiado el entrelazamiento antes, así que es bueno ver lo que significa en su gloria matemática.
Este es un error común en la terminología: el producto directo $\times$ es más parecido a la suma directa $\oplus$ ; lo que tienes es el producto tensorial $\otimes$ . Una diferencia importante es que $\dim(A\oplus B)=\dim(A)+\dim(B)$ , mientras $\dim(A\otimes B)=\dim(A)\dim(B)$ . Desafortunadamente $2+2=2\cdot2$ , por lo que es más fácil confundirse en este caso particular.
Bien, entonces, ¿con qué estoy tratando realmente aquí: un "espacio de producto tensorial" o un "espacio de suma directa"? Supongo que es el espacio del producto tensorial ya que $\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$ y en este caso tiene sentido pensar en $\text{dim}(\mathcal{H})=\text{dim}(\mathcal{H}_1)\text{dim}(\mathcal{H}_2)$ (de la analogía con el caso de spin-1/2 con dos partículas, donde pensamos en los 4 estados resultantes como pares ordenados de spin-ups y spin-downs). Pero la suma directa entra en escena cuando pensamos en el hamiltoniano "total". $H=H_1\oplus H_2$ , así que me gustaría estar seguro.

yuggib · Answer 1

Esto es bastante simple. Considere el operador $H$ en el espacio de Hilbert $\mathscr{H}$ , en su ejemplo simple tiene una resolución espectral:

H = \sum_{norte} {mi}_{norte} | norte ⟩ ⟨ norte | .

$H=\sum_{n}E_n \lvert n\rangle\langle n \rvert\; .$ Cada valor propio tiene multiplicidad 1. Ahora los operadores

H_{1}

$H_1$ y

H_{2}

$H_2$ en

H \otimes H

$\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}$ tienen el mismo espectro de

H

$H$ , pero cada valor propio tiene multiplicidad

d i m [H]

$\mathrm{dim} [\mathscr{H}]$ , y los vectores propios ortonormales serán el producto tensorial de un vector propio de

H

$H$ y un vector de la base ortonormal de

H

$\mathscr{H}$ (en el orden respectivo). Las resoluciones espectrales son heredadas directamente por la de

H

$H$ :

H_{1} = \sum_{norte} {mi}_{norte} (| norte ⟩ ⟨ norte | \otimes 1), H_{2} = \sum_{norte} {mi}_{norte} (1 \otimes | norte ⟩ ⟨ norte |) .

$H_1=\sum_{n}E_n \bigl(\lvert n\rangle\langle n \rvert\ \otimes 1\bigr)\;,\; H_2=\sum_{n}E_n \bigl(1\otimes\lvert n\rangle\langle n \rvert\ \bigr)\; .$ Aplicar ahora la proyección sobre un vector factorizado

ψ_{1} \otimes ψ_{2}

$\psi_1\otimes\psi_2$ por ejemplo en

H_{1}

$H_1$ :

| ψ_{1} \otimes ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{1} \otimes ψ_{2} | H_{1} = \sum_{norte} {mi}_{norte} ⟨ ψ_{1}, norte ⟩ (| ψ_{1} ⟩ ⟨ norte | \otimes | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |) .

$\lvert \psi_1\otimes\psi_2\rangle\langle \psi_1\otimes\psi_2 \rvert H_1= \sum_n E_n \langle \psi_1,n\rangle \bigl( \lvert\psi_1\rangle\langle n\rvert\otimes\lvert\psi_2\rangle\langle\psi_2\rvert \bigr)\; .$ Ahora supongamos que

ψ_{1} = m

$\psi_1=m$ , dónde

m

$m$ es un vector propio de

H

$H$ , ortogonal a todos los demás (y normalizado). Entonces los productos escalares en la suma se desvanecen aparte de

n = m

$n=m$ . Así obtienes:

\begin{matrix} (1) & | metro \otimes ψ_{2} ⟩ ⟨ metro \otimes ψ_{2} | H_{1} = {mi}_{metro} | metro \otimes ψ_{2} ⟩ ⟨ metro \otimes ψ_{2} | . \end{matrix}

$\tag{1}\lvert m\otimes\psi_2\rangle\langle m\otimes\psi_2 \rvert H_1=E_m \lvert m\otimes\psi_2\rangle\langle m\otimes\psi_2 \rvert \; .$

Observación : observe que usé más de una vez el hecho de que para vectores factorizados $\lvert \psi_1\otimes\psi_2\rangle\langle \psi_1\otimes\psi_2 \rvert= \lvert\psi_1\rangle\langle \psi_1\rvert\otimes\lvert\psi_2\rangle\langle\psi_2\rvert$ .

Ecuación (1)---con $\psi_2$ elegido como un elemento de la base ortonormal de $\mathscr{H}$ --- es la relación de los proyectores sobre los vectores propios de $H_1$ usted busca. Esto se extiende a las funciones de $H_1$ ya que para cualquier función adecuadamente regular $f$ , $f(H)=\sum_{n}f(E_n) \lvert n\rangle\langle n \rvert$ .

Agradezco mucho esta respuesta, gracias. Responde mi pregunta exactamente y muy claramente, con una buena justificación para cada paso.

Operadores de proyección en un espacio de producto directo

Lachy

Selene Routley

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usuario10851

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yuggib

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