¿Por qué los operadores pueden representarse como matrices en la mecánica cuántica?

En un espacio vectorial de dimensión finita, tenemos bases que consisten en una cantidad finita de elementos:$\{e_1,...,e_n\}$, dónde$n$es la dimensión del espacio. Si$A$es un operador lineal en el espacio, entonces$A(e_j)$es un vector para cada valor permitido de$j$, y como vector, también se puede expandir en la base:

Si$v$es un vector arbitrario, también se puede expandir, como$v=\sum_{j=1}^nv_je_j$. Entonces$A(v)=A\left(\sum_jv_je_j\right)=\sum_jv_jA(e_j)=\sum_jA_{ij}v_je_i$, entonces el$i$el componente de$A(v)$es$\sum_jA_{ij}v_j$y esta expresión es representable como un producto de matriz entre el$n$por$n$matriz cuadrada cuya$ij$th elemento si$A_{ij}$y la matriz columna cuya$j$el elemento es$v_j$.

Pero ya lo sabes.

En mecánica cuántica, trabajamos en un espacio de Hilbert separable . Un espacio separable es aquel que tiene un subconjunto denso numerable. Se puede demostrar que un espacio de Hilbert admite una base ortonormal si y solo si es separable. Entonces, los espacios de Hilbert "físicos" admiten bases ortonormales. Por una base ortonormal en un espacio de Hilbert de dimensión infinita, nos referimos a un conjunto contable$\{e_1,...,e_n,...\}\subset\mathcal{H}$, tal que$\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$y para cualquier$x\in\mathcal{H}$, una expansión única se da como una serie infinita en la forma$x=\sum_{n=1}^\infty x_ie_i$.

Dado un operador, podemos hacer el mismo procedimiento sobre la base ortonormal infinita que hicimos en el caso finito para obtener una representación matricial infinita.

En este punto, no estoy seguro de si tal expansión es posible rigurosamente solo para operadores acotados o para todo tipo de operadores, pero incluso si está restringida a operadores acotados, nosotros, como buenos físicos, generalmente ignoramos este problema y procedemos sin muchos problemas como si los operadores estaban acotados.