¿La mecánica cuántica generaliza de alguna manera el concepto de tensor afín?

De https://mathworld.wolfram.com/AffineTensor.html

y https://encyclopediaofmath.org/wiki/Affine_tensor

Parece que el tensor afín se transforma a través de matrices ortogonales:

A T A = 1

Pero, en mecánica cuántica, las transformaciones de operador y base son unitarias:

tu † tu = 1

Mi pregunta es, ¿la mecánica cuántica adopta una versión general/modificada de un tensor afín?

Respuestas (1)

En primer lugar, un tensor afín generalmente se llama simplemente tensor. El calificador 'afín' aquí es para distinguir esto de un campo tensorial que es un campo de tensores y que también suele llamarse tensor, particularmente en GR. Para definir un tensor (afín), usamos el producto tensorial. Por ejemplo:

V 3 := V ⊗ V ⊗ V

La mecánica cuántica de los sistemas compuestos utiliza tensores, sin embargo, el producto tensorial aquí suele estar en diferentes espacios vectoriales. Así por ejemplo:

tu ⊗ V

Por lo tanto, no es lo mismo que un tensor (afín). Sin embargo, si es un compuesto de uno o más sistemas idénticos, entonces esto por supuesto se reduce al concepto de un tensor (afín).

Entonces sí. El concepto de espacio tensorial generaliza el de un tensor (afín), con la condición de que no se utilicen espacios duales.

Agregaría que la pregunta parece estar considerando implícitamente espacios vectoriales reales (ya que las transformaciones son ortogonales), mientras que en QM los espacios vectoriales suelen ser complejos (y, por lo tanto, usan transformaciones unitarias)
Parece que me quedé en un nivel más básico. ¿El concepto de tensor, en su forma más general, tiene que requerir ortogonalidad en la matriz de transformación (creo que afín es un tipo especial)? Considere la contracción entre los tensores (1,0) y (0,1), A m B v ( mi m , mi v ) = A m B v d m v = A m B m , si recogí otra base tal que A ′ m B v ′ ( mi m ′ , mi ′ v ) , la contracción entre la nueva base tiene que ser ( mi m ′ , mi ′ v ) = d m v ? La ortogonalidad se ve mejor, pero ¿tiene que estar en la forma más general?
@ AlphaF20: los tensores como los vectores no requieren índices. Es solo en una base que los adquieren. Luego, al cambiar de una base a otra, se obtiene el tensor de transformación. No requiere ortogonalidad porque esto requeriría un producto interno pero, en general, un tensor se puede definir sin invocar esta estructura adicional.
@ Alpha20: Desafortunadamente, esta definición intrínseca de un tensor a menudo no se aclara en los textos físicos y, a menudo, ni siquiera en los matemáticos. Hay tres formas de definir un tensor: transformacionalmente, algebraicamente y geométricamente. Estos son todos equivalentes.
Tengo una pregunta más. Sobre el símbolo de Christoffel. Por lo general, mostrar que el símbolo de Christoffel no es un tensor es observar su transformación con índices. ¿Existe algún enfoque abstracto para hacerlo (sin usar índices)? Gracias.
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