Teorema del límite central sobre población exponencial

Suponer$X_1, X_2, \dots \sim \text{Exp}(\beta)$(es decir, distribución exponencial con media$\beta > 0$) son iid. Dejar$T_k = \sum_{i=1}^{k}X_i$,$k = 1, 2, \dots$. Dejar$\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$denote una variable aleatoria normalmente distribuida con media$\mu$y varianza$\sigma^2$. Demostrar que existen sucesiones de constantes$a_n, b_n$tal que

$$a_n(T_n - b_n) \overset{d}{\to}\mathcal{N}(0, 1)$$ (convergencia en la distribución) como $n \to \infty$.

Desde$X_i \sim \text{Exp}(\beta)$,$\mathbb{E}[X_i] = \beta$y$\text{Var}(X_i) = \beta^2$. Por el teorema del límite central,

$$\sqrt{n}\left(\dfrac{1}{n}T_n - \beta\right)\overset{d}{\to}\mathcal{N}(0, \beta^2)\text{.}$$ Obviamente $\dfrac{1}{\beta}\overset{p}{\to}\dfrac{1}{\beta}$, entonces por el teorema de Slutsky, $$\dfrac{\sqrt{n}}{\beta}\left(\dfrac{1}{n}T_n - \beta\right)\overset{d}{\to}\dfrac{1}{\beta}\mathcal{N}(0, \beta^2) \overset{d}{=}\mathcal{N}(0, 1)\text{.}$$ De este modo, $a_n = \dfrac{1}{\beta\sqrt{n}}$y $b_n = \sqrt{n}$.

La solución para la que tengo coincidencias$a_n$, pero dice$b_n = n\beta$. ¿Hice algo mal?