¿Cómo calcular la probabilidad de que un conjunto de datos provenga de una distribución de probabilidad CONTINUA?

Sé que si tienes un conjunto de datos, digamos$data=(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$que cree que provienen de una distribución discreta, puede calcular la probabilidad de que ocurran esos datos simplemente multiplicando el PDF. p.ej:

si:

$$data \sim binomial(n,p) = p(x)$$

entonces la probabilidad de algunos$data=(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$, sería:

$$prob(data|binomial(n,p)) = p(x_1)p(x_2)...p(x_n)=\prod_i p(x_i)$$

Sin embargo, ¿cómo se hace lo mismo para una distribución continua? Si la probabilidad en cualquier punto dado es$0$, entonces la probabilidad de que los datos existieran exactamente en un solo punto es$0$y por lo tanto$prob(data|distribution)=0$. Lo mejor que podría hacer es decir que la probabilidad tiene algún valor$p(x_i)dx$, pero esto sigue siendo infinitesimalmente pequeño.

Tengo entendido que para que una distribución continua se "comporte" bien como una medida en algún álgebra sigma, no puede tener una probabilidad asociada con un solo punto.

¿Alguien podría ayudarme a entender dónde falla mi lógica?