¿Cómo usar el límite inferior de Cramer-Rao (CRLB) para mostrar que Y¯Y¯\bar{Y} es el mejor estimador insesgado de λλ\lambda?

Dejar$Y_1,\ldots,Y_n$sea ​​una muestra aleatoria de Poisson ($\lambda$).

Derive el límite inferior de Cramer-Rao (CRLB) para la varianza de cualquier estimador insesgado de$\lambda$.

MI ACERCAMIENTO:

$$L(\lambda)=\left(\prod_{i=1}^n \frac{1}{y_i!}\right)\lambda^{\sum_{i=1}^n y_i}e^{-\lambda n}$$

$$l(\lambda)=-\lambda n+\log(\lambda)\sum_{i=1}^n y_i-\sum_{i=1}^n \log(y_i!).$$

$$\frac{d \ln L(\lambda)}{\lambda} = \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^n y_i - n$$

$$\frac{d^2 \ln L(\lambda)}{\lambda} = \frac{-1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^n y_i$$

$$E\left[\frac{-1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^n y_i\right] = \frac{-1}{\lambda^2} n \bar{y}$$ .

¿Alguien puede confirmar que lo que estoy haciendo es correcto? Si es así, ¿cómo uso este resultado para demostrar que$\bar{Y}$es el mejor estimador insesgado de$\lambda$?