Demuestra que 1n−1∑ni=1(XiYi−X¯¯¯¯Y¯¯¯¯)1n−1∑i=1n(XiYi−X¯Y¯)\frac{1}{n-1}\sum_ {i=1}^n(X_iY_i-\overline{X}\overline{Y}) es un estimador imparcial de Cov[X,Y].Cov[X,Y].\text{Cov}[X,Y] .

Question

Demuestra que 1n−1∑ni=1(XiYi−X¯¯¯¯Y¯¯¯¯)1n−1∑i=1n(XiYi−X¯Y¯)\frac{1}{n-1}\sum_ {i=1}^n(X_iY_i-\overline{X}\overline{Y}) es un estimador imparcial de Cov[X,Y].Cov[X,Y].\text{Cov}[X,Y] .

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Parseval

Asumir que $(X_1,Y_1),...,(X_n,Y_n)$ es una muestra en una variable aleatoria bidimensional $(X,Y)$ y eso $E[X^2], \ E[Y^2]$ y $E[XY]$ son todas finitas, de modo que las varianzas y covarianzas están bien definidas. Muestra esa

$S = \frac{1}{norte - 1} \sum_{i = 1}^{norte} (X_{i} Y_{i} - \bar{X} \bar{Y})$ $S=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_iY_i-\overline{X}\overline{Y})$ es un estimador insesgado de $\text{Cov}[X,Y].$

Así que se supone que debo mostrar eso $E[S]=\text{Cov[X,Y]}.$ Ahora

\begin{matrix} (1) & mi [\sum_{i = 1}^{norte} (X_{i} Y_{i} - \bar{X} \bar{Y})] = \sum_{i = 1}^{norte} mi [X_{i} Y_{i}] - norte mi [\bar{X} \bar{Y}] = norte (mi [X Y] - mi [\bar{X} \bar{Y}]) . \end{matrix}

$E\left[\sum_{i=1}^n(X_iY_i-\overline{X}\overline{Y})\right]=\sum_{i=1}^nE[X_iY_i]-nE[\overline{X}\overline{Y}]=n(E[XY]-E[\overline{X}\overline{Y}]).\tag1$

De acuerdo con la fórmula de la varianza, el último paso en $(1)$ se puede reescribir como

\begin{matrix} (2) & norte (m_{X} m_{y} + Cov [X, Y] - (m_{X} m_{y} + Cov [\bar{X} \bar{Y}])) = Cov [X, Y] - Cov [\bar{X} \bar{Y}])), \end{matrix}

$n(\mu_x\mu_y+\text{Cov}[X,Y]-(\mu_x\mu_y+\text{Cov}[\overline{X}\overline{Y}]))=\text{Cov}[X,Y]-\text{Cov}[\overline{X}\overline{Y}])), \tag2$

dónde $\mu_x$ y $\mu_y$ son la media respectiva.

Preguntas:

En $(2)$ , entiendo que de la fórmula de la covarianza obtenemos
$m_{X} m_{y} = mi [X] mi [Y] = mi [X Y] - Cov [X, Y],$ $\mu_x\mu_y=E[X]E[Y]=E[XY]-\text{Cov}[X,Y],$ pero ¿por qué también es igual a $m_{X} m_{y} = mi [X] mi [Y] = mi [X Y] - Cov [\bar{X} \bar{Y}] ?$ $\mu_x\mu_y=E[X]E[Y]=E[XY]-\text{Cov}[\overline{X}\overline{Y}]?$ ¿No deberían causar alguna diferencia las medias muestrales con línea superior?
¿Cómo sigo desde aquí?

Conde Iblis

Las cantidades superpuestas se definen como sumatorias divididas por n. Escríbalos y expanda el producto de los promedios sobre X e Y como una doble suma y escupa esa doble suma en una parte diagonal donde los índices son iguales y una parte no diagonal donde suma los valores de los índices que son diferente.

Respuestas (1)

Demuestra que 1n−1∑ni=1(XiYi−X¯¯¯¯Y¯¯¯¯)1n−1∑i=1n(XiYi−X¯Y¯)\frac{1}{n-1}\sum_ {i=1}^n(X_iY_i-\overline{X}\overline{Y}) es un estimador imparcial de Cov[X,Y].Cov[X,Y].\text{Cov}[X,Y] .

Las cantidades superpuestas se definen como sumatorias divididas por n. Escríbalos y expanda el producto de los promedios sobre X e Y como una doble suma y escupa esa doble suma en una parte diagonal donde los índices son iguales y una parte no diagonal donde suma los valores de los índices que son diferente.

Arash · Answer 1

Para la primera parte, vea que $E(\overline X)=\mu_x$ y $E(\overline Y)=\mu_y$ porque:

mi (\bar{X}) = mi (\frac{1}{norte} \sum_{i} X_{i}) = \frac{1}{norte} \sum mi (X_{i}) = \frac{1}{norte} (norte m_{X}) = m_{X} .

$E(\overline X)=E(\frac 1n\sum_i X_i)=\frac 1n\sum E(X_i)=\frac 1n (n\mu_x)=\mu_x.$ Para la segunda pregunta, las soluciones son las siguientes:

Cov [\bar{X} \bar{Y}] = mi [(\bar{X} - m_{X}) (\bar{Y} - m y)] = mi (\bar{X} \bar{Y}) - m_{X} m_{y} .

$\text{Cov}[\overline X\overline Y]=E[(\overline X-\mu_x)(\overline Y-\mu y)]=E(\overline X\overline Y)-\mu_x\mu_y.$ Ahora mira eso

mi (\bar{X} \bar{Y}) = \frac{1}{{norte}^{2}} \sum_{i, j} mi (X_{i} Y_{j}) = \frac{1}{norte} mi (X Y) + \frac{norte - 1}{norte} m_{X} m_{y} .

$E(\overline X\overline Y)=\frac{1}{n^2}\sum_{i,j}E(X_iY_j)=\frac 1n E(XY)+\frac{n-1}{n}\mu_x\mu_y.$ Por eso:

Cov [\bar{X} \bar{Y}] = \frac{1}{norte} mi (X Y) - \frac{1}{norte} m_{X} m_{y} = \frac{1}{norte} Cov (X Y) .

$\text{Cov}[\overline X\overline Y]=\frac 1n E(XY)-\frac 1n \mu_x\mu_y=\frac 1n \text{Cov}(XY).$ Conecta esto y tienes:

mi (S) = \frac{1}{norte - 1} \times norte \times (Cov (X Y) - \frac{1}{norte} Cov (X Y)) = Cov (X Y) .

$E(S)=\frac{1}{n-1}\times n\times (\text{Cov}(XY)-\frac 1n \text{Cov}(XY))=\text{Cov}(XY).$

¿De dónde se sigue esto? $mi [\bar{X} \bar{Y}) = \frac{1}{{norte}^{2}} \sum_{i, j} mi (X_{i} Y_{j}] ?$ $E[\overline X\overline Y)=\frac{1}{n^2}\sum_{i,j}E(X_iY_j] ?$ ¿Es generalmente cierto que $mi [\bar{X_{1}} . . . \bar{X_{k}}] = \frac{1}{{norte}^{k}} \sum_{i, j} mi [X_{i} X_{j}]$ $E[\overline{X_1}...\overline{X_k}] = \frac{1}{n^k}\sum_{i,j}E[X_iX_j]$
solo multiplica $\overline X=\frac 1n\sum_{i=1}^n X_i$ y $\overline Y=\frac 1n\sum_{j=1}^n Y_j$ .
Ahh ... está bien, veo que generalmente es cierto, creo. ¡Gracias!
¿Podría por favor elaborar la última igualdad aquí: $mi (\bar{X} \bar{Y}) = \frac{1}{{norte}^{2}} \sum_{i, j} mi (X_{i} Y_{j}) = \frac{1}{norte} mi (X Y) + \frac{norte - 1}{norte} m_{X} m_{y} .$ $E(\overline X\overline Y)=\frac{1}{n^2}\sum_{i,j}E(X_iY_j)=\frac 1n E(XY)+\frac{n-1}{n}\mu_x\mu_y.$
Si $i=j$ , entonces $E(X_iY_j)=E(X_iY_i)=E(XY)$ y aquí están $n$ pares diferentes como tales; si $i\neq j$ entonces $X_i$ y $Y_j$ son independientes por lo tanto $E(X_iY_j)=\mu_x\mu_y$ y aquí están $\binom{n}{2}$ de tales parejas.
¡Gracias! Pero, ¿hay alguna manera de calcular esto sin usar razonamientos combinatorios?
No lo creo; en algún momento hay que contar los términos que son independientes y los que no lo son.
cuando calculo $\frac{1}{n^2}{n\choose 2}$ yo obtengo $\frac{n-1}{2n}$ y no $\frac{n-1}{n}.$ Solo uso la fórmula factorial y binomial para expandir.
@Parseval oh lo siento; debes contar los pares ordenados para que el binomail sea incorrecto y obtengas $n(n-1)$ términos.
Quieres contar el número de pares $X_iY_j$ con $i\neq j$ ; hay $n$ diferentes formas de elegir $i$ . Por cada fijo $i$ , hay $n-1$ elección para $j$ (todos los números excluyendo $i$ ). Por lo tanto tenemos $n(n-1)$ términos diferentes.

Demuestra que 1n−1∑ni=1(XiYi−X¯¯¯¯Y¯¯¯¯)1n−1∑i=1n(XiYi−X¯Y¯)\frac{1}{n-1}\sum_ {i=1}^n(X_iY_i-\overline{X}\overline{Y}) es un estimador imparcial de Cov[X,Y].Cov[X,Y].\text{Cov}[X,Y] .

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