Pregunta de probabilidad justa de dados

La pregunta:

Supongamos que seguimos lanzando un dado justo n veces. Además, suponga que todos los lanzamientos son independientes y los dados son justos, es decir, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 tienen las mismas probabilidades de aparecer en cada lanzamiento. Calcule la probabilidad de que

  1. tenemos el número 6 apareciendo en al menos k lanzamientos;

  2. tenemos el número 6 apareciendo en al menos k lanzamientos consecutivos.

Mi trabajo:

Yo creía que 1. era bastante fácil. Simplemente date cuenta de que la probabilidad de no sacar un 6 en cualquier tirada es 5/6. Luego, dado que cada lanzamiento es independiente, multiplique esto a la potencia de k, lo que da la probabilidad de no sacar un 6 en k lanzamientos. Luego resta ese producto de 1 para obtener la probabilidad de sacar un 6 en al menos k lanzamientos. entonces la respuesta es 1 − ( 5 / 6 ) k .

Sin embargo, estoy teniendo problemas con 2. La pregunta es la probabilidad de que aparezca 6 en k lanzamientos consecutivos de las n veces que se lanza el dado. Dado que cada lanzamiento de dado es independiente, siento que el proceso y la respuesta para encontrar 2. deben ser los mismos que 1. pero obviamente este no es el caso.

Entonces, ¿hice 1. mal y cómo debo proceder con 2.?

La respuesta a 1 tiene que depender de norte . Por ejemplo, si norte = 2 , k = 3 la probabilidad es cero ya que no tenemos suficientes lanzamientos.

Respuestas (1)

Hay varios problemas con su solución a 1. Básicamente, está eligiendo k tira para pedir un 6 e ignorando al resto de los norte − k lanza, lo que podría darle una 6 . Entonces tu figura ( 5 / 6 ) k es la posibilidad de que todos esos lanzamientos no sean seises, por lo que su figura 1 − ( 5 / 6 ) k es la probabilidad de que al menos un seis entre los específicos k tiras que escogiste.

Lo que tienes que hacer es elegir un número de seises para obtener, calcular la probabilidad de esos seises y sumar los números permitidos de seises. para obtener exactamente j seises, tu eliges el j sale de la norte (¿de cuántas maneras?), requieren que todos sean seises y requieren que todos los demás no sean seises. Luego suma estos de j = k a j = norte

Entiendo 1. ahora. Estaba malinterpretando la pregunta sobre la probabilidad de que apareciera 6 en un número colectivo de lanzamientos, lo cual era incorrecto. Todavía estoy atascado en 2. Sin embargo, cualquier ayuda al respecto sería apreciada.
Un enfoque aproximado para 2 que funciona siempre que la probabilidad sea pequeña es que tienes norte − k + 1 lugares donde puede comenzar la racha de seises. La probabilidad de cada uno es 1 6 k , así que tienes ( norte − k + 1 ) F r a C 1 6 k . Este doble cuenta eventos con dos carreras de k seises o aquellos con una racha de k + 1 , por lo que la probabilidad será menor que esto. Puede usar la inclusión/exclusión para hacerlo mejor.
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