¿Por qué/Cómo es este teorema de Wick?

Como menciona Lubos Motl en un comentario, para todos los propósitos prácticos, el eq buscado de OP. (1) se demuestra mediante el teorema de Wick.

Es interesante tratar de generalizar el teorema de Wick y tratar de minimizar el número de suposiciones que se incluyen en él. Aquí esbozaremos un posible enfoque.

I) Supongamos que una familia$(\hat{A}_i)_{i\in I}$de operadores$\hat{A}_i\in{\cal A}$vive en un (super)operador álgebra${\cal A}$

1. con (súper) conmutador$[\cdot,\cdot]$, y

2. con centro $Z({\cal A})$.

Aquí

1. El índice$i\in I$se ejecuta sobre un conjunto de índices$I$(podría ser continuo), y

2. El índice$i$contiene información, como, por ejemplo, la posición$x$, instante de tiempo$t$, etiqueta de aniquilación/creación, tipo de campo, etc., del operador$\hat{A}_i$.

II) Suponga que

$$\forall i,j\in I~: \qquad [\hat{A}_i,\hat{A}_j] ~\in~Z({\cal A}).$$

III) Suponga que se dan dos recetas ordenantes, digamos$T$y$::$. Aquí$T$y$::$podría en principio denotar dos prescripciones de orden cualquiera, por ejemplo, orden de tiempo, orden normal, orden radial, orden de Weyl$^1$, etc. Esto significa que el conjunto de índices$I$está dotado de dos estrictos órdenes totales , digamos,$<$y$\prec$, respectivamente, tal que

1. Él$T$el símbolo es (graduado) multilineal wrt. supernúmeros _

2. $T(\hat{A}_{\pi(i_1)}\ldots\hat{A}_{\pi(i_n)})~=~(-1)^{\sigma_{\pi}} T(\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_n} )$es (graduada) simétrica , donde$\pi\in S_n$es una permutación de$n$elementos, y$(-1)^{\sigma_{\pi}}$es un factor de signo Koszul.$^2$

3. $T(\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_n} )~=~\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_n}$si$i_1 > \ldots > i_n$.

4. En el caso especial en que algunos de los$i_1 , \ldots , i_n$son iguales$^3$(wrt. el orden <), entonces uno debe simetrizar en sentido apropiado (graduado) sobre los subconjuntos correspondientes. Por ejemplo,

   $$T(\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_n} )~=~\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_{k-1}}\frac{\hat{A}_{i_k}\hat{A}_{i_{k+1}}+(-1)^{|\hat{A}{i_k}||\hat{A}{i_{k+1}}|}\hat{A}_{i_{k+1}}\hat{A}_{i_k}}{2}\hat{A}_{i_{k+2}}\ldots\hat{A}_{i_n}$$ si$i_1 > \ldots > i_k=i_{k+1}> \ldots > i_n$.

[Las condiciones similares 1-4 deben cumplirse para el segundo pedido$(::,\prec)$.]

IV) Entonces se sigue de los supuestos I-III que las contracciones (generalizadas)

$$\hat{C}_{ij}~=~T(\hat{A}_i\hat{A}_j)~-~:\hat{A}_i\hat{A}_j:~\in~Z({\cal A})$$ pertenecen al centro $Z({\cal A})$. Las contracciones se clasifican simétricamente. $$\hat{C}_{ij}~=~(-1)^{|\hat{A}_i||\hat{A}_j|} \hat{C}_{ji}.$$

V) Supongamos además que las contracciones$\hat{C}_{ij}$no dependas de los operadores$\hat{A}_k$, es decir

$$\frac{\partial \hat{C}_{ij}}{\partial \hat{A}_k}~=~0$$ para simplificar los siguientes argumentos combinatorios.

VI) Ahora es un ejercicio sencillo establecer el Teorema de Wick correspondiente

$$T(f(\hat{A})) ~=~ \exp\left(\frac{1}{2}\sum_{i,j\in I}\hat{C}_{ij}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_j}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_i} \right):f(\hat{A}):,$$ es decir, una regla sobre cómo volver a expresar una receta de pedido $T(f(\hat{A}))$[donde $f$es una función suficientemente agradable de la $(\hat{A}_i)_{i\in I}$familia] en términos de la otra prescripción ordenante $::$y (múltiples) contracciones $\hat{C}_{ij}$. Y viceversa con los roles de los dos ordenamientos $T$y $::$intercambiado: $$:f(\hat{A}): ~=~ \exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i,j\in I}\hat{C}_{ij}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_j}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_i} \right)T(f(\hat{A})).$$ Dichos teoremas de Wick ahora se pueden aplicar sucesivamente para establecer teoremas de Wick anidados, como, por ejemplo, $^4$ $$T(:f(\hat{A})::g(\hat{A}):) ~=~ \left. \exp\left(\sum_{i,j\in I}\hat{C}_{ij}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_j}\frac{\partial}{\partial\hat{B}_i} \right) :f(\hat{A}) g(\hat{B}): \right|_{\hat{B}=\hat{A}}.$$ Estos teoremas de Wick pueden extenderse a una clase más grande de operadores que solo el $(\hat{A}_i)_{i\in I}$familia a través de la multilinealidad (graduada).

VII) Supongamos ahora que los operadores$\hat{A}_i$son bosónicos por simplicidad. Una consecuencia particular del teorema de Wick anidado es la siguiente versión

$$T(:\hat{A}^2_i::\hat{A}^2_j:) ~=~ 2\hat{C}_{ij}^2 + 4 \hat{C}_{ij}:\hat{A}_i\hat{A}_j: + :\hat{A}^2_i\hat{A}^2_j:$$

de la ecuación buscada de OP. (1). Finalmente, mencionemos que el Teorema de Wick, el orden radial, OPE , etc., también se discuten en esta y esta publicación de Phys.SE.

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Notas al pie:

$^1$ Ejemplo: El orden Weyl/simétrico satisface

$$W(f(\hat{A})) ~=~\left. \exp\left(\sum_{i\in I}\hat{A}_i \frac{\partial}{\partial a_i} \right) f(a) \right|_{a=0}.$$ Para obtener más detalles, consulte, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

$^2$La convención de signos de Koszul produce un signo menos cada vez que se permutan dos objetos impares de Grassmann. en esta respuesta$|\hat{A}_i|=0,1 \pmod 2$denota la paridad de Grassmann de$\hat{A}_i$.

$^3$Siendo igual wrt. un orden es en general una relación de equivalencia, y a menudo es una condición más débil que ser iguales como elementos de$I$.

$^4$El teorema de Wick anidado (entre el orden radial y el orden normal) se establece brevemente en la ecuación. (2.2.10) en la pág. 39 en J. Polchinski, Teoría de cuerdas, vol. 1. Tenga en cuenta que el orden radial a menudo solo se escribe implícitamente en los textos CFT. Por cierto, en esta publicación de Phys.SE se analiza un efecto secundario/peculiaridad de los símbolos de orden anidados.