Expansión del producto del operador en CFT

En primer lugar, tenga en cuenta que el operador radial que ordena${\cal R}$está implícitamente implícito en muchos libros de texto de CFT (por ejemplo, Ref. 1). Por ejemplo, la ec. (2.2.7) en la pág. 39 en ref. 1 está discutiendo el teorema de Wick entre dos operadores que ordenan recetas. En este caso entre pedidos normales$:~:$y orden radial${\cal R}$. Véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. La relación básica de 2 puntos del teorema de Wick es

$$\tag{1} : \hat{X}_i \hat{X}_j : ~=~ {\cal R}(\hat{X}_i \hat{X}_j)+ C_{ij},$$

donde la llamada contracción $C_{ij}$se supone que es un$c$-número. [Más precisamente:$C_{ij}$se supone que es un elemento central.] Aquí los índices$i,j,k,\ldots$son una forma abreviada de todas las posibles etiquetas discretas y continuas de los operadores$\hat{X}_i ,\hat{X}_j,\hat{X}_k, \ldots$, cf. Notación condensada de DeWitt .

La relación de 3 puntos buscada por OP del teorema de Wick es$^1$

$$\tag{2} : \hat{X}_i \hat{X}_j\hat{X}_k : ~=~ {\cal R}(\hat{X}_i \hat{X}_j\hat{X}_k) +C_{ij} {\cal R}(\hat{X}_k) + C_{ik}{\cal R}(\hat{X}_j) + {\cal R}(\hat{X}_i)C_{jk}.$$

ecuaciones (1) y (2) pueden generalizarse formalmente a la ec. (2.2.7) de la Ref. 1

$$\tag{3} :{\cal F}: ~=~ \exp \left(\frac{1}{2} \sum_{i,j} C_{ij}\frac{\partial}{\partial \hat{X}_i} \frac{\partial}{\partial \hat{X}_j} \right) {\cal R}({\cal F}),$$

donde el operador${\cal F}$es una función de los operadores$\hat{X}_i$. Tenga en cuenta que los operadores se tratan como objetos conmutativos bajo los dos símbolos de orden$:~:$y${\cal R}$. ecuación (3) es una taquigrafía formal conveniente/nemotécnica de los diversos$n$-relaciones puntuales del teorema de Wick.

Referencias:

1. J. Polchinski, Teoría de cuerdas, vol. 1; p.39.

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$^1$En esta respuesta hemos asumido por simplicidad que todos los operadores$\hat{X}_i$son Grassmann-incluso. Si algunos de los operadores$\hat{X}_i$son impares de Grassmann, habrá factores de signo adicionales en las ecs. (2) y (3).