¿Cómo encontramos la densidad del espacio de fase del hamiltoniano?

Normalmente NO calculamos la densidad del espacio de fase de un sistema. En la formulación del espacio de fase de la mecánica estadística clásica, la densidad del espacio de fase$\rho(p,q;t)$tiene su forma específica para diferentes conjuntos. Normalmente para sistemas en equilibrio la densidad$\rho$no tiene una dependencia temporal explícita y, por lo tanto, trabajamos con$\rho(p,q)$.

(1) Para el conjunto microcanónico, la energía del sistema es fija y de acuerdo con la 'igual probabilidad a priori', cada microestado es igualmente probable, por lo tanto,$\rho=constant$a lo largo de la región relevante en el espacio de fase. El valor exacto de esta constante no es importante ya que en la mecánica estadística todo lo que nos importa son las posibilidades o probabilidades relativas, siempre se puede normalizar al final. Más precisamente, para el valor promedio de alguna cantidad física$f(p,q)$, tenemos

$$<f>=\frac{\int dqdp f(p,q)\rho}{\int dqdp \rho}=\frac{\int dqdp f(p,q)}{\int dqdp},$$ desde $\rho$es constante en este caso.

(2) Para el conjunto canónico, que podría interesarle más, la densidad$\rho(p,q)$ya no es uniforme, en su lugar tenemos

$$\rho(p,q)\propto exp(-H(p,q)/kT),$$ lo que simplemente significa que cuanto mayor sea la energía, menos probable será que se ocupe el nivel. Este es solo el factor de Boltzmann habitual para ser consistente con los resultados termodinámicos estándar. Luego, para diferentes sistemas, solo necesita ingresar sus respectivos hamiltonianos. Nuevamente, la constante de proporcionalidad al frente no es importante, se cancelará de todos modos cuando hagamos el cálculo del promedio.

Para resumir, la densidad del espacio de fase simplemente caracteriza la densidad de probabilidad relativa para los estados clásicos etiquetados por$(p,q)$con hamiltoniano$H(p,q)$estar ocupado Pero ya tenemos la densidad de probabilidad de la termodinámica estándar, que se puede usar directamente en el enfoque del espacio de fase.