Cálculo del número de partículas en el espacio de fases

Estoy viendo la primera parte de la pregunta 7 aquí (soy un matemático que intenta aprender algo de física por sí mismo, ¡esto no es una tarea, así que solo necesito pistas)! Estoy luchando por entender la configuración, pero explicaré lo que he hecho.

El número de partículas en el sistema es igual a:

$$\begin{equation*} \int_{p_1}^{p_2}\int_{x_1}^{x_2}f(x,p,t)~dx~dp = \int_{p_1}^{p_2}\int_{x_1}^{x_2}f_1~dx~dp = N \end{equation*}$$ dónde $[p_1,p_2]$es el rango de valores que toma el momento de cada partícula, y $[x_1,x_2]$es el rango de valores que toma la posición de cada partícula. Para calcular estos rangos, calculo la ecuación de movimiento de una partícula en el sistema. Hice esto usando las ecuaciones de Hamilton, pero omitiré los detalles porque creo que es de conocimiento común que se trata de un movimiento armónico simple: $$\begin{equation*} \ddot{x}=-\omega_1^2x \end{equation*}$$

que tiene solucion$x=A\cos(\omega_1t)+B\sin(\omega_1t)$dónde$A$,$B$son constantes de integración. Pero para calcular el rango de$x$y$p$Necesito saber el valor de estas constantes de integración, pero no tengo suficiente información, así que no estoy seguro de qué hacer.

Suponiendo por un segundo que sí supiera$A$y$B$, sería correcta la siguiente respuesta:$x$entonces tomaría valores en$[-\sqrt{A^2+B^2},\sqrt{A^2+B^2}]$y usando$p=m\dot{x}$, tendríamos:

$$\begin{equation*} p=Bm\omega_1\cos{\omega_1t}-Am\omega_1\sin{\omega_1t} \end{equation*}$$

y por lo tanto$p$tomaría valores en$[-m\omega_1\sqrt{A^2+B^2},m\omega_1\sqrt{A^2+B^2}]$. Sustituyendo estos en la integral anterior y usando el hecho de que$f_1$es constante da:

$$\begin{equation*} N=f_1(2\sqrt{A^2+B^2})(2m\omega_1\sqrt{A^2+B^2}) = 4f_1m\omega_1(A^2+B^2) \end{equation*}$$

Siento que esto no puede ser correcto como$E_1$no entra en eso, y dadas las notas de la conferencia, probablemente debería estar usando el Teorema de Liouville, pero no estoy seguro de dónde.