Verificación de la cordura sobre el significado del teorema de Liouville

Últimamente he estado estudiando el teorema de Liouville. El libro de texto de mecánica estadística de Kardar demuestra el teorema al mostrar que$dq\cdot dp$no cambia para cada coordenada de un rectángulo infinitesimal de largo y ancho$dq$y$dp$.

Mi pensamiento es:

• esta prueba muestra que el$2n$-volumen de un conjunto en un$2n$el espacio de fase dimensional no cambia con el tiempo.

• tomando un subconjunto con un nivel de energía fijo, y reconociendo que permanece dentro del subespacio de ese nivel de energía y proyectándose sobre ese subespacio, el$2n-1$el volumen de ese subconjunto también permanece igual.

• sin embargo, el área de un conjunto proyectada en coordenadas arbitrarias$q_i,p_i$no necesariamente se mantendrá constante, porque aunque esta proyección se conserva por una aproximación de primer orden, no lo es una vez que tomamos en cuenta la interacción con otras variables. Por lo tanto, podemos tener que la proyección del espacio de fase sobre algunas variables$q_i,p_i$aumenta o disminuye con el tiempo.

¿Es esto correcto?