Equilibrio en Stat Mech y densidad de espacio de fase

Me preguntaba si existe alguna relación entre el equilibrio en Stat Mechanics y la densidad del espacio de fase de un sistema. Esto no parece ser completamente independiente, ya que la entropía se maximiza en equilibrio y esta cantidad está definitivamente relacionada con la densidad del espacio de fase de alguna manera.

Intuitivamente diría que ∂ ρ ∂ t = 0 en equilibrio, pero dado que en un conjunto microcanónico, la distribución uniforme es la más probable, también siento que la derivada con respecto al espacio y las coordenadas de momento debería desaparecer, ¿es esto cierto?

Respuestas (1)

La condición que escribiste, a saber, que la derivada parcial de la densidad de fase con respecto al tiempo se anula, es una condición estándar que se aplica a las densidades de fase que describen sistemas en equilibrio. Consulte, por ejemplo, la página 29 de las notas de clase de mecánica estadística de Eric D'Hoker, que se pueden encontrar aquí:

http://www.pa.ucla.edu/content/eric-dhoker-lecture-notes

Por otro lado, la desaparición de las derivadas parciales con respecto a las coordenadas del espacio de fase generalmente no es una condición para los conjuntos de equilibrio. La distribución microcanónica es especial en este sentido.

Por ejemplo, la densidad de fase para el conjunto canónico es

ρ ( pag , q , t ) = 1 Z ( β ) mi − β H ( pag , q )
que es manifiestamente no constante sobre el espacio de fase proporcionado H ( pag , q ) no es constante.

gracias por estas excelentes notas de clase. usted dijo que el conjunto microcanónico es especial en este sentido, pero en sus notas de clase parece que esto solo es cierto para el llamado conjunto uniforme.
@XinWang Claro. Cuando un sistema se describe mediante el conjunto microcanónico, tiene una energía fija (por definición). Esto significa que si el espacio de fase tiene dimensión norte , entonces el estado del sistema está restringido a estar en un norte − 1 hipersuperficie dimensional de energía constante. Además, la densidad de probabilidad asignada a esta hipersuperficie es una densidad uniforme; todos los estados con la energía prescrita son igualmente probables.
pero como quiere decir eso ∂ ρ ∂ q = 0 y de manera similar para el impulso?
@XinWang Dado que el sistema está restringido a estar sobre una superficie de energía constante, su espacio de fase debe tratarse efectivamente como esa superficie. Suponer que ξ i son coordenadas en esa superficie, entonces como en el conjunto microcanónico la densidad de probabilidad es uniforme, las derivadas de la densidad de fase con respecto a estas coordenadas serán cero; ∂ ρ / ∂ ξ i = 0 . Tenga en cuenta que esto es una idealización. En la práctica, a menudo se elige que el sistema no tenga una energía exactamente fija, sino una energía fija en algún rango de valores.
@joshphysics ¿Cómo es la condición de equilibrio? ∂ ρ ∂ t = 0 es reforzada por la hipótesis ergódica?
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