Función de partición en coordenadas esféricas

Te ahorraré los paquetes cotangentes y la geometría diferencial y solo resumiré la conclusión de que, de hecho,$J=1/r^2 \sin \theta$de modo que todo el espacio de fase jacobiano es 1,

$$dx dy dz ~ dp_x dp_y dp_z = dr d\theta d\phi ~dp_r dp_\theta dp_\phi .$$

Una derivación directa (sangre, sudor y lágrimas) está disponible en el Blog de Peter Joot .

La razón es que cartesiano a esférico es una transformación canónica puntual, por lo que conserva volúmenes de espacio de fase (teorema de Liouville, que también se cumple para el movimiento, ya que también es una transformación canónica generada por el hamiltoniano).

Para racionalizar esto, considere una partícula libre de masa m =1. El hamiltoniano es entonces$\vec p ^2/2$, generando

$$\frac{d\vec r}{dt} = \{\vec r , \vec p ^2 \}/2 = \vec p.$$ Es simple en coordenadas cartesianas, pero en coordenadas esféricas, dado el elemento de línea $$d\vec r= \hat r ~ dr +\hat \theta ~ r d\theta + \hat \phi ~ r \sin\theta d\phi,$$ tienes $$\dot{\vec r}= \hat r ~ \dot{r} +\hat \theta ~ r \dot{\theta} + \hat \phi ~ r \sin\theta ~\dot{\phi} \\ =\vec p= \hat r ~ p_r +\hat \theta ~ \frac{1}{r} p_\theta + \hat \phi ~\frac{1}{ r \sin\theta} p_\phi ~~.$$

Estos son los momentos canónicos conjugados obtenidos del procedimiento canónico y, por ejemplo,$p_\phi$no es la proyección de$\vec p$en la dirección$\phi$!

Has visto este bit covariante antes en el gradiente expresado en coordenadas esféricas,

$$\nabla = \hat r ~ \partial_r +\hat \theta ~ \frac{1}{r} \partial_\theta + \hat \phi ~\frac{1}{ r \sin\theta} \partial_\phi ,$$ no es coincidencia, ya que es proporcional a la cuantización del impulso cuando trasciendes la mecánica clásica.

Dos veces el hamiltoniano es, en este lenguaje,

$$2H= \vec p^2 = p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\phi^2}{r^2\sin^2\theta },$$ (y la forma única de Liouville sería$\vec p \cdot d\vec r = p_r dr + p_\theta d\theta +p_\phi d\phi$. en componentes,$p_r=\dot{r}, \quad p_\theta /r = r \dot{\theta}, \quad p_\phi/ r \sin\theta= r\sin \theta ~ \dot{\phi}$. )

El elemento de volumen en el espacio de fase, entonces, por arriba, es

$$d^3 \vec r ~ d^3 \vec p= r^2 \sin \theta ~ dr d\theta d\phi ~ \frac{1}{r^2 \sin \theta} dp_r dp_\theta dp_\phi,$$ colapsando hasta la línea superior.