Volumen como opción de medida en el espacio de fases

Question

Volumen como opción de medida en el espacio de fases

Física
equilibrio
espacio de fase
mecanica clasica
formalismo hamiltoniano
mecánica estadística

usuario929304

Para sistemas en equilibrio, esperamos que se cumpla el teorema de Liouville. Este teorema establece que la función de densidad de los estados del sistema es una constante de movimiento, que a su vez se puede traducir al volumen de fase consistente con la energía del sistema siendo constante en el tiempo. Mi pregunta está más bien relacionada con la elección de la medida, es decir, el volumen del espacio de fase. $d\mathbf{\Gamma}=d\mathbf{q}d\mathbf{p}.$ Denotando la medida por $\mu$ y la transformación del tiempo por $T,$ El teorema de Liouville se puede expresar como:

m (T V_{0}) = m (V_{0})

$\mu(T V_0) = \mu(V_0)$ dónde

V_{0}

$V_0$ es la inicial (

t = 0

$t=0$ ) volumen de nuestro sistema en el espacio de fases.

¿La elección del "volumen" como medida de elección de Lebesgue surge principalmente de consideraciones físicas?
Entiendo que es una medida válida ya que (al menos intuitivamente) cumple con los axiomas habituales de una función de medida (monotonicidad, aditividad contable, etc.).
Finalmente, una pregunta más específica: en el contexto de los sistemas dinámicos y las discusiones sobre la accesibilidad de diferentes partes del espacio de fase, a menudo se dice que casi todos los puntos en el espacio son accesibles, a excepción de un conjunto de condiciones iniciales de medida cero (puntos) . En tales contextos, tanto matemática como físicamente, ¿qué significa que un determinado conjunto de puntos del espacio de fase tenga una medida cero?

una mente curiosa

No estoy muy seguro de cuáles son sus preguntas: el teorema de Liouville dice que el volumen del espacio de fase es constante. Si quieres expresar esto con una medida, tienes que elegir la medida de Lebesgue, porque la medida de Lebesgue mide el volumen más bien por su definición. Y un conjunto de medida cero... es un conjunto cuya medida de Lebesgue es cero, es decir, que no tiene volumen.

usuario929304

@ACuriousMind Gracias por tu comentario. Sobre el bit de medida cero, ¿qué significa físicamente? es decir, cuando las condiciones iniciales tienen 0 medidas en el espacio de fases. ¿Siguen siendo condiciones iniciales válidas?

Respuestas (1)

Volumen como opción de medida en el espacio de fases

No estoy muy seguro de cuáles son sus preguntas: el teorema de Liouville dice que el volumen del espacio de fase es constante. Si quieres expresar esto con una medida, tienes que elegir la medida de Lebesgue, porque la medida de Lebesgue mide el volumen más bien por su definición. Y un conjunto de medida cero... es un conjunto cuya medida de Lebesgue es cero, es decir, que no tiene volumen.
@ACuriousMind Gracias por tu comentario. Sobre el bit de medida cero, ¿qué significa físicamente? es decir, cuando las condiciones iniciales tienen 0 medidas en el espacio de fases. ¿Siguen siendo condiciones iniciales válidas?

yuggib · Answer 1

[ Descargo de responsabilidad : doy mi respuesta, sin embargo, no soy un experto, así que siéntase libre de comentar/editar si he cometido algún error ;-)]

Matemáticamente, puedes pensar en la evolución en la mecánica clásica como un (simplecto) morfismo en el paquete cotangente $T^*M$ de unos suaves $n$ -variedad dimensional $M$ .

El haz cotangente $T^* M$ es una variedad simpléctica y, por lo tanto, tiene una forma de volumen natural $\omega$ , eso es el $2n$ -ésima potencia exterior de la forma simpléctica. Esta forma de volumen $\omega$ induce naturalmente una medida $\mu_\omega$ definir la medida de un conjunto de Borel $B\in \mathscr{B}$ en $T^*M$ como

m_{ω} (B) = \int_{B} ω .

$\mu_\omega(B)=\int_B \omega\; .$ Aparte de los tecnicismos matemáticos, la idea es la siguiente: lo que en física se llama espacio de fase es un objeto geométrico particular (el haz cotangente) dotado de una medida "natural". En el caso más simple, donde el espacio de coordenadas

M = R^{n}

$M=\mathbb{R}^n$ y el espacio de fase

T^{*} M = R^{2 n}

$T^*M = \mathbb{R}^{2n}$ , entonces la medida natural (simpléctica)

μ_{ω}

$\mu_\omega$ es exactamente la medida de Lebesgue.

La dinámica se describe mediante un simplectomorfismo $\phi$ (es decir, conserva la forma simpléctica) en el espacio de fase: $\phi:\mathbb{R}\to T^* M$ (también llamado flujo hamiltoniano). Este mapa conserva también la medida simpléctica:

(\forall B \in k) ϕ_{#} m_{ω} (B) = m_{ω} (B),

$(\forall B\in\mathscr{K})\; \phi_\#\mu_\omega(B)=\mu_\omega(B)\; ,$ dónde

ϕ_{#} μ_{ω}

$\phi_\#\mu_\omega$ es el empuje de la medida por el flujo

ϕ

$\phi$ y

K

$\mathscr{K}$ es el conjunto de subconjuntos compactos de Borel de

T^{*} M

$T^*M$ (esto es esencialmente una reafirmación de la relación que escribiste).

Sin embargo, esto es una consecuencia de la característica especial "la dinámica conserva la forma simpléctica" y, por lo tanto, no es cierto para las medidas generales. En mi opinión, esto es físicamente relevante, ya que la evolución es un simplectomorfismo y está estrechamente relacionado con la forma de Hamilton-Jacobi de las ecuaciones de movimiento (y, a su vez, con el principio de acción mínima).

Con respecto al último punto, la idea es que en los sistemas dinámicos "caóticos" las trayectorias de espacio de fase cerradas (periódicas) son posibles pero "inestables", en el sentido de que son puntos aislados en el espacio de fase. Eso significa, físicamente, que una ligera perturbación de las condiciones iniciales (ya sea de posición o de momento) de un movimiento periódico da como resultado un movimiento no periódico que nunca vuelve a la condición inicial (y en situaciones adecuadas, cubre densamente todo el espacio de fase o un región del espacio fase). Por supuesto, cada punto del espacio de fase sigue siendo una condición inicial admisible, pero solo un conjunto de medida cero de ellos da lugar a soluciones periódicas, mientras que los demás a soluciones no periódicas.

Gracias por tu respuesta. He de reconocer que desde el punto de vista matemático esta respuesta me supera, aunque estoy seguro de que es correcta y no dudo de su rigor. Sería muy útil si pudiera agregar explicaciones un poco más amigables, por ejemplo, con respecto al formulario de volumen $\omega$ "la 2n-ésima potencia exterior de la forma simpléctica... induce una medida $\mu_\omega$ " Realmente no entendí esta parte, y siento que es muy importante. Finalmente, ¿tiene algún comentario para la última pregunta? Muchas gracias
Muchas gracias, la edición fue de gran ayuda, especialmente el último párrafo. Sin embargo, una pregunta: entonces, en el sentido más habitual, podría escribir $\int_B \omega$ como $\int_B dx_1\cdots dp_{2n}$ (suponiendo n grados de libertad), ¿es esto correcto? finalmente, ahora entiendo que: las órbitas periódicas están hechas de puntos aislados en el espacio de fase, lo que a su vez implica que todos los conjuntos de condiciones iniciales que conducen a órbitas periódicas deben ser de medida cero, ya que los puntos aislados tienen volumen 0. Solo para ser claros , ¿ qué califica exactamente a un punto en el espacio fase como aislado ?
Sí, la forma de volumen para un espacio de fase "plano" es la habitual $dx_1\dotsm dx_ndp_1\dotsm dp_n$ . En este contexto, un punto con una órbita periódica está "aislado" si tiene una vecindad de puntos (una bola abierta que lo contiene) que no producen órbitas periódicas.

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