Reconciliación de varias definiciones diferentes de medidas de radón

Al revisar algunos análisis reales básicos, encontré dos definiciones diferentes para la medida de radón. Deja que el espacio subyacente X ser localmente compacto y Hausdorff. Real Analysis de Folland da la definición

Una medida de radón es una medida de Borel que es finita en todos los conjuntos compactos, regular exterior en los conjuntos de Borel y regular interior en los conjuntos abiertos.

Folland continúa demostrando que una medida de radón es regular interna en σ -conjuntos finitos, y comenta que la regularidad interna completa es demasiado pedir, especialmente en el contexto del teorema de representación de Riesz para funcionales lineales positivos en C C ( X ) . El enfoque de Folland parece coincidir con el enfoque adoptado por Rudin, si mal no recuerdo.

Sin embargo, he escuchado de otros, así como de Wikipedia , que una medida de Radon se define como una medida de Borel que es localmente finita (lo que significa finita en conjuntos compactos para espacios LCH) y regular interna, y no menciona la regularidad externa.

Ninguna definición parece conectarse bien con el enfoque de Bourbaki de definir las medidas de Radon como funcionales lineales positivos en C C ( X ) , porque, al menos según el artículo de Wikipedia sobre el teorema de representación de Riesz , un funcional lineal positivo en C C ( X ) corresponde únicamente a una medida regular de Borel, que es más fuerte que el radón en cualquiera de las dos definiciones dadas anteriormente.

Lamentablemente, no tengo ningún tratado de análisis más avanzado con el que comparar, así que esperaba que alguien pudiera aclarar esta discrepancia.

Respuestas (1)

Un ejemplo estándar son los números reales multiplicados por los reales con la topología discreta: X = R × R d .

Este es un espacio metrizable localmente compacto. Los subconjuntos compactos intersecan solo un número finito de líneas horizontales y cada una de esas intersecciones no vacías debe ser compacta. Un conjunto de Borel mi ⊂ X intersecta cada rebanada horizontal mi y en un juego de Borel.

Considere la siguiente medida de Borel donde λ es la medida de Lebesgue sobre R :

m ( mi ) = ∑ y λ ( mi y ) .
Esto se verifica fácilmente para definir una medida de Borel regular interna y sus conjuntos nulos son precisamente aquellos conjuntos de Borel que intersecan cada línea horizontal en un conjunto nulo. En particular, la diagonal Δ = { ( X , X ) : X ∈ R } es un conjunto nulo. Sin embargo, todo conjunto abierto que contenga Δ debe intersectar cada línea horizontal en un conjunto de medida positiva, por lo que debe tener una medida infinita y, por lo tanto, m no es regular exterior.

Ahora define v por la misma fórmula que m si mi intersecta solo numerablemente muchas líneas horizontales, y establece v ( mi ) = ∞ si mi intersecta innumerables líneas horizontales. ahora esta medida v es regular interior en conjuntos abiertos y regular exterior en conjuntos de Borel.

Finalmente, puedes comprobar que m y v asigne la misma integral a funciones continuas compatibles de forma compacta en X .

Una buena discusión de los problemas con los que te encuentras sin σ -compacidad en las notas de Arveson y también en las notas de Lanford de las que se toma la discusión anterior.
Estoy tratando de entender cómo resolver la discrepancia en función de su respuesta. ¿Significa esto que las dos definiciones de medida de radón dadas anteriormente conducen a resultados de unicidad en el teorema de representación de Riesz, pero que simplemente son diferentes? ¿Es falso el resultado dado en Wikipedia?
@ChristopherA.Wong: Hay dos versiones de unicidad en el teorema de representación de Riesz: hay una medida regular interna única y hay una medida cuasi-regular única (regular externo en conjuntos de Borel y regular interno en conjuntos abiertos). Las medidas cuasi-regulares son regulares internas en conjuntos medibles de σ -medida finita, entonces la medida v aquí está el que obtienes del teorema de representación de Riesz con regularidad como se indica en Wikipedia antes del teorema. Puedes conseguir distintas medidas. El enlace a las medidas regulares de Borel en el teorema es incorrecto sin más suposiciones sobre X.
@comentarista, Perfecto, esto es exactamente lo que estoy buscando. Ahora, lo único triste para mí es que esto significa que hay dos definiciones diferentes de medida de radón dando vueltas, cada una correspondiente a un teorema de representación muy similar.
@Christopher: Ambas versiones tienen sus virtudes y sus inconvenientes --- (va más allá de la compacidad local y las cosas se ponen realmente peludas, vea, por ejemplo, el volumen 4 de Bogachev o Fremlin, capítulo 43 ... :-)) Las notas de Lanford construyen primero un cuasi-regular versión de un funcional y luego modificarlo a uno regular interno. Un punto técnico para pensar: para medidas regulares internas no hay diferencia entre conjuntos localmente nulos ( m ( norte ∩ k ) = 0 para compacto k ) y conjuntos nulos. la diagonal Δ en la respuesta de Hyperspace es m -null y localmente v -nulo pero no v -nulo, como v ( Δ ) = ∞ ...
Vaya, esto es tan sorprendente. El enlace a las notas de Lanford está roto; ¿Sabes dónde puedo leer más sobre los dos resultados de unicidad diferentes? Por lo que entiendo te da una correspondencia entre las medidas cuasi-regulares y las internas-regulares, que también es interesante...
¿Significa esto que también puede tener dos tipos de medidas de Haar en grupos localmente compactos (compactos no sigma)? ¿Uno que es cuasi-regular y otro que es regular interno?
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