¿Existe una fórmula para la medida de Haar en un producto de grupos?

Solo tengo la respuesta para el caso de productos finitos, y definitivamente espero ver una prueba del caso general por parte de cualquier persona de la comunidad MSE.

En lo que sigue, se supone que todos los grupos topológicos son$T_{1}$-spaces, que automáticamente los convierte en espacios de Hausdorff. (En general,$T_{1}$-los espacios no son Hausdorff.)

Recuerde que una medida de Haar en un grupo topológico localmente compacto$G$se define como una medida regular de Borel en$G$que es invariante por la izquierda y que es finito en subconjuntos compactos de$G$.

Nota: una medida de Borel en un espacio topológico$X$se dice que es regular si y solo si cada subconjunto medible de Borel de$X$es externo abierto-regular (es decir, se puede aproximar en medida arbitrariamente cerca de sus superconjuntos abiertos) y cada subconjunto abierto de$X$es compacto-regular interno (es decir, se puede aproximar en medida arbitrariamente de cerca por sus subconjuntos compactos).

Dejar$G_{1},\ldots,G_{n}$ser grupos topológicos localmente compactos con medidas de Haar respectivas$\mu_{1},\ldots,\mu_{n}$. Observa eso$G := G_{1} \times \cdots \times G_{n}$es de hecho localmente compacto (si esto no fuera así, entonces no tendría sentido continuar con esta discusión).

Definir un funcional lineal no negativo$\Phi$en${C_{c}}(G)$como una integral iterada de la siguiente manera:

$$\forall F \in {C_{c}}(G): \quad \Phi(F) \stackrel{\text{def}}{=} \int_{G_{1}} \cdots \int_{G_{n}} F ~ \mathrm{d}{\mu_{1}} \cdots \mathrm{d}{\mu_{n}}.$$ Se puede demostrar, usando un argumento de aproximación simple y sin invocar el Teorema de Fubini, que permutando el orden de aparición de los$G_{i}$está en la definición de$\Phi$no produce ningún cambio. Más precisamente, para cualquier permutación$\sigma: [n] \to [n]$, tenemos $$\forall F \in {C_{c}}(G): \quad \Phi(F) = \int_{G_{\sigma(1)}} \cdots \int_{G_{\sigma(n)}} F ~ \mathrm{d}{\mu_{\sigma(1)}} \cdots \mathrm{d}{\mu_{\sigma(n)}}.$$ Por el Teorema de Representación de Riesz (como se presenta en el Análisis Real y Complejo de Walter Rudin ), existe una medida regular de Borel$\mu$en$G$que es finito en subconjuntos compactos de$G$y satisface $$\forall F \in {C_{c}}(G): \quad \Phi(F) = \int_{G} F ~ \mathrm{d}{\mu}.$$ Como$\Phi$es invariante por la izquierda, se sigue que$\mu$también es invariante por la izquierda. Por eso,$\mu$califica como una medida de Haar en$G$. para demostrar que $$(\spadesuit) \quad \forall F \in {L^{1}}(G,\mu): \quad \int_{G} F ~ \mathrm{d}{\mu} = \int_{G_{\sigma(1)}} \cdots \int_{G_{\sigma(n)}} F ~ \mathrm{d}{\mu_{\sigma(1)}} \cdots \mathrm{d}{\mu_{\sigma(n)}}$$ para cualquier permutación$\sigma: [n] \to [n]$, tenemos que invocar el Teorema de Fubini (presentado en la forma del Teorema 13.8 del Análisis Armónico Abstracto de Edwin Hewitt y Kenneth A. Ross. Volumen 1 - Estructura de Grupos Topológicos. Teoría de Integración. Representaciones de Grupo. Segunda Edición ) esta vez.

Conclusión: Como una medida de Haar es única hasta escalar por un factor positivo, se sigue que$\mu$es la única medida de Haar en$G$que satisface$(\spadesuit)$.