Espectro de prueba de elementos hermitianos

Estoy revisando la siguiente prueba y no estoy seguro de una parte en particular.

Teorema: Supongamos que$a \in A$es un elemento hermitiano de un$C^{*}-$Álgebra$A$. Entonces$\sigma(a) \subset \mathbb{R}$.

Prueba: WLOG Podemos suponer que$A$es unitario, de lo contrario podemos probar el resultado de la unificación$\hat{A}$y usa el hecho de que$\sigma_{\hat{A}}(a) = \sigma_A(a)$. Desde$e^{ia}$es unitario,$\sigma(e^{ia}) \subset T$para$T$el círculo unitario en$\mathbb{C}$. Si$\lambda \in \sigma(a)$, y$b = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^n(a-\lambda I)^{n-1}}{n!}$, entonces:

$$e^{ia}-e^{i\lambda}I = (e^{i(a-\lambda I)}-I)e^{i \lambda} = (a-\lambda I)be^{i \lambda}.$$ Desde$b$viaja con$a$y$(a-\lambda I) \notin \text{Inv}(A)$, resulta que$e^{ia}-e^{i\lambda}I \notin \text{Inv}(A)$, entonces$e^{i \lambda} \in \sigma(e^{ia}) \subset T$, entonces$\lambda \in \mathbb{R}$.

La prueba es bastante simple, pero no entiendo por qué necesitamos$b$viajar con$a$. Me gusta, entiendo por qué$b$viaja con$a$, desde$a$viaja con$(a-\lambda I)^n$para todos$n \in \mathbb{N}$. Pero este hecho parece no tener sentido para que la prueba funcione.

¿No es siempre el caso que si tengo un producto de elementos$\prod_{k=1}^n a_k \in A$en un álgebra$A$eso$\prod_{k=1}^n a_k \in \text{Inv}(A)$si y solo si$a_k \in \text{Inv}(A)$para todos$k=1,2,\dots,n$? Hacer el$a_k$¿Tienen que viajar juntos también?

Entonces, ¿no tendríamos que decir simplemente: "Desde que$(a-\lambda I) \notin \text{Inv}(A)$, el producto$(a-\lambda I)be^{i \lambda} = e^{ia} - e^{-\lambda}I \notin \text{Inv}(A)$."?