D(Rn)D(Rn)\mathcal D(\mathbb R^n) está contenido en S(Rn)S(Rn)\mathcal S(\mathbb R^n)

El conjunto de funciones con soporte compacto suave está contenido en el espacio de Schwartz. Está algo bien entender los pasos en la prueba de que$\mathcal D$es denso en$\mathcal S$pero incluso tengo dificultades para entender que las funciones suaves con soporte compacto también son funciones de Schwartz, lo que hice es lo siguiente:

1) Me gustaría probar cualquier función suave y compacta, digamos$u(x)$tiene derivados que se descomponen rápidamente. especialmente$|\partial^{\alpha}x^{\beta}u(x)|\le C_{\alpha\beta}$para cualquier$\alpha$y$\beta.$

Lo sabemos$u(x)$tiene un soporte compacto, es decir, el cierre de$(u^{-1}(\{0\}))^{c}$es compacto

A grandes rasgos sabemos que$u(x)$tiene derivadas continuas de orden infinito luego por regla del producto;$\big|\partial^{\alpha}x^{\beta}u(x)\big|=\big|\sum_{\eta+\gamma=\alpha}{\partial^{\eta}(x^{\beta})\partial^{\gamma}(u(x))}\big|,$

3) Como sabemos que$u(x)$tiene soporte compacto es decir el conjunto donde$u(x)\ne 0$es compacto y entonces cada derivada de$u(x)$de cualquier orden es continuo, por lo que siempre estaremos pensando en los subconjuntos compactos de$R^n,$entonces cada uno de los términos en esta suma se relaciona con$u(x)$estará acotado.

4) Cuando tomamos el máximo de cada valor límite para las derivadas de la$u(x)$decir$M_{\alpha},$obtendremos el siguiente resultado,

$\big|\partial^{\alpha}x^{\beta}u(x)\big|=\big|\sum_{\eta+\gamma=\alpha}{\partial^{\eta}(x^{\beta})\partial^{\gamma}(u(x))}\big|\le \big|\sum_{\eta+\gamma=\alpha}{\partial^{\eta}(x^{\beta})}\big|M_{\alpha} \le C_{\alpha\beta},$

5) ¿Necesito la declaración anterior o por definición del espacio de Schwartz, ya que todos los derivados de$u(x)\in C_{c}^{\infty}{(R^{n})}\subset C^{\infty}(R^{n}),$

6) entonces hay una semi-norma equivalente que es$\big|x^{\beta}\partial^{\alpha}u(x)|\le C_{\alpha\beta}$para cualquier$\alpha$y$\beta,$en el espacio de Schwartz, entonces desde$\partial^{\gamma} u(x)\in C_{c}^{\infty}(R^n),$luego, por definición de función suave con soporte compacto, estos están limitados en conjuntos compactos; de lo contrario, obtendremos$0$, de este modo$u(x)$se encuentra en el espacio de Schwarz.

7) ¿Podría decirme si hay otra forma de explicar eso?$C_{c}^{\infty}(R^n)\subset \mathcal S(\mathbb R^n)$de manera rigurosa?